Suites de matrices colonnes

Introduction :

Nous avons vu dans un cours précédent comment les matrices servent dans la résolution de systèmes linéaires. Dans ce cours, qui complète l’étude des matrices, nous allons voir comment elles peuvent aussi être utiles dans l’étude de suites.

Nous nous intéressons donc ici aux suites de matrices, plus particulièrement de matrices colonnes.
Dans un premier temps, nous donnerons les définitions et les propriétés utiles, qui sont pour la plupart assez intuitives.
Mais nous nous consacrerons surtout, dans un second temps, à manipuler les suites de matrices dans des exemples concrets, tirés de sujets de bac d’années précédentes. Cela nous permettra de voir les méthodes à appliquer pour la résolution de problèmes.

Suite de matrices

Suite de matrices colonnes

Considérons la suite de matrices (Un)(U_n) définie pour tout entier naturel nn par :

Un=(2n1n+2n2+4n+1)U_n=\begin{pmatrix} 2^n \ \ \dfrac 1{n+2} \ \ n^2+4n+1 \end{pmatrix}

Alors, pour tout nNn\in \mathbb N, UnUn est une matrice colonne de taille 33 (i.e. de 33 lignes et 11 colonne).
Et les coefficients de la suite (Un)(U
n) sont des suites numériques définies pour tout nNn\in \mathbb N par :

un=2nvn=1n+2wn=n2+4n+1\begin{aligned} un&=2^n \ vn&=\dfrac 1{n+2} \ w_n&=-n^2+4n+1 \end{aligned}

  • Ainsi, pour tout nNn\in \mathbb N :

Un=(unvnwn)Un=\begin{pmatrix} un \ vn \ wn \end{pmatrix}

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Définition

Suite de matrices colonnes :

Soit mm un entier naturel.
Une suite de matrices colonnes est une suite de matrices de taille m×1m\times 1 dont les coefficients sont des suites numériques.

Suite de matrices définies par des relations de récurrence

Nous allons considérer les suites (un)(un) et (vn)(vn) suivantes, dites « couplées », de premiers termes respectifs u0u0 et v0v0, et définies pour tout nNn\in \mathbb N par :

{un+1=aun+bvn+c[abc reˊels]vn+1=dun+evn+f[def reˊels]\begin{cases} u{n+1}=\textcolor{#1E90FF} aun+\textcolor{#B22222}bvn+\textcolor{#9400D3}c & \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[$a$, $b$, $c$ réels]}}} \ v{n+1}=\textcolor{#3CB371}dun+\textcolor{#FFA500}evn+\textcolor{#BDB76B}f & \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[$d$, $e$, $f$ réels]}}} \end{cases}

Nous allons poser les matrices suivantes :

A=(abde)C=(cf)Un=(unvn) pour tout nN\begin{aligned} A&=\begin{pmatrix} \textcolor{#1E90FF}a & \textcolor{#B22222}b \ \textcolor{#3CB371}d & \textcolor{#FFA500}e \end{pmatrix} \ C&=\begin{pmatrix} \textcolor{#9400D3}c \ \textcolor{#BDB76B}f \end{pmatrix} \ Un&=\begin{pmatrix} un \ v_n \end{pmatrix} \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ pour tout nNn\in \mathbb N}}} \end{aligned}

Calculons maintenant AUn+CAU_n+C, en utilisant les règles d’opération que nous avons apprises dans un cours précédent :

AUn+C=(abde)×(unvn)+(cf)=(aun+bvndun+evn)+(cf)=(aun+bvn+cdun+evn+f)=(un+1vn+1) [par deˊfinition des suites (un) et (vn)]=Un+1\begin{aligned} AUn+C&= \begin{pmatrix} a & b \ d & e \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} un \ vn \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} c \ f \end{pmatrix} \ &=\begin{pmatrix} aun+bvn \ dun+evn \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} c \ f \end{pmatrix} \ &=\begin{pmatrix} aun+bvn + c \ dun+evn+f \end{pmatrix} \ &=\begin{pmatrix} u{n+1} \ v{n+1} \end{pmatrix} \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [par définition des suites $(u_n)$ et $(v_n)$]}}} \ &=U{n+1} \end{aligned}

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À retenir

Nous pouvons alors définir la suite de matrices colonnes (Un)(U_n), de taille 22, par récurrence, avec AA une matrice carrée d’ordre 22 et CC une matrice colonne de taille 22.

  • Nous avons alors U0=(u0v0)U0=\binom {u0}{v_0} et, pour tout nNn\in \mathbb N :

Un+1=A×Un+CU{n+1}=A\times Un+C

Terme général d’une suite de matrices colonnes

De manière analogue à ce que nous avons vu pour les suites géométriques en première, nous pouvons donner le terme général d’une suite de matrices colonnes définie par une relation de récurrence du type : Un+1=A×UnU{n+1}=A\times Un.

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Propriété

Soit AA une matrice carrée d’ordre mm.
Soit (Un)(Un) une suite de matrices colonnes de taille mm définie pour tout entier naturel nn par : Un+1=A×UnU{n+1}=A\times U_n.
Alors, pour tout entier naturel nn, nous avons :

Un=An×U0Un=A^n\times U0

Démontrons par récurrence cette propriété.

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Démonstration

Nous voulons montrer que, pour tout entier naturel nn, la propriété PnPn : « Un=An×U0Un=A^n\times U_0 », est vraie.

  • Initialisation :

Pour n=0n=0, nous avons :

A0×U0=Im×U0 [Im est la matrice uniteˊ d’ordre m]=U0\begin{aligned} A^0\times U0 &= Im \times U0 \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [$I_m$ est la matrice unité d’ordre mm]}}} \ &=U0 \end{aligned}

  • P0P_0 est vraie.
  • Hérédité :

Supposons que PkPk : « Uk=Ak×U0Uk=A^k\times U_0 », est vraie pour un entier naturel quelconque kk.

  • Montrons que, alors, Pk+1P{k+1} : « Uk+1=Ak+1×U0U{k+1}=A^{k+1}\times U_0 », est aussi vraie.

Nous avons donc :

Uk+1=A×Uk [par deˊfinition de (Un)]=A×(Ak×U0) [par hypotheˋse de reˊcurrence]=(A×Ak)×U0 [par associativiteˊ]=Ak+1×U0\begin{aligned} U{k+1} &= A\times Uk \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [par définition de (Un)(Un)]}}} \ &= A\times (A^k\times U0) \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [par hypothèse de récurrence]}}} \ &= (A\times A^k)\times U0 \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [par associativité]}}} \ &= A^{k+1}\times U0 \end{aligned}

  • Si PkPk est vraie, alors Pk+1P{k+1} est aussi vraie.
  • Conclusion :

Nous avons montré que la propriété est vraie pour n=0n=0 et qu’elle est héréditaire à partir de ce rang.

  • La propriété est vraie pour tout entier naturel et, pour tout nNn\in \mathbb N :

Un=An×U0Un=A^n\times U0

Convergence de suites de matrices colonnes

Comme pour les suites numériques, nous pouvons étudier la convergence, ou la divergence, de suites de matrices colonnes.

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Définition

Suite de matrices colonnes convergente :

Soit (Un)(Un) une suite de matrices colonnes de taille mm.
(Un)(U
n) est convergente si et seulement si chacune des suites numériques qui constituent ses coefficients est convergente.

  • Sinon, la suite est divergente.
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À retenir

Si cette suite est convergente et si l1l1, l2l2, …, lml_m sont les limites respectives des mm suites numériques qui constituent ses coefficients, alors sa limite est la matrice colonne de taille mm :

L=(l1l2ln)L=\begin{pmatrix} l1 \ l2 \ \vdots \ l_n \end{pmatrix}

Illustrons ces notions de divergence et de convergence par deux exemples.

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Exemple

  • Soit (Un)(U_n) la suite de matrices colonnes définies pour tout $n\in \mathbb N$ par :

Un=(2n1n+2n2+4n+1)U_n=\begin{pmatrix} 2^n \ \ \dfrac 1{n+2} \ \ -n^2+4n+1 \end{pmatrix}

Nous avons d’une part :

limn+1n+2=0\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac 1{n+2}=0

Mais, d’autre part, nous avons, par le théorème de la limite de (qn)(q^n), avec q=2q=2 :

limn+2n=+\lim\limits_{n \to +\infty} 2^n=+\infty

Nous obtenons aussi :

limn+n2+4n+1=limn+n2(1+4n+1n2)=\begin{aligned} \lim\limits{n \to +\infty} -n^2+4n+1&=\lim\limits{n \to +\infty} n^2\left(-1+\dfrac 4n + \dfrac 1{n^2}\right) \ &=-\infty \end{aligned}

  • (Un)(U_n) est divergente.
  • Soit (Vn)(V_n) la suite de matrices colonnes définies pour tout nNn\in \mathbb N^* par :

Vn=(1n+21n+2n2+4n+13n21)V_n=\begin{pmatrix} \dfrac 1 {\sqrt{n}}+2 \ \ \dfrac 1{n+2} \ \ \dfrac{-n^2+4n+1}{3n^2-1} \end{pmatrix}

Nous calculons aussi les limites des trois suites numériques qui constituent les coefficients de (Vn)(V_n) :

limn+1n+2=2limn+1n+2=0limn+n2+4n+13n21=limn+n2(1+4n+1n2)n2(31n2)=limn+1+4n+1n231n2=13\begin{aligned} \lim\limits{n \to +\infty} \dfrac 1 {\sqrt{n}}+2 &= 2 \ \ \lim\limits{n \to +\infty} \dfrac 1{n+2} &= 0 \ \ \lim\limits{n \to +\infty} \dfrac{-n^2+4n+1}{3n^2-1} &=\lim\limits{n \to +\infty} \dfrac{n^2\left(-1+\frac 4n+\frac 1{n^2}\right)}{n^2\left(3-\frac 1{n^2}\right)} \ &=\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{-1+\frac 4n+\frac 1{n^2}}{3-\frac 1{n^2}} \ &=- \dfrac 13 \end{aligned}

  • (Vn)(V_n) est convergente et sa limite est :

L=(2013)L=\begin{pmatrix} 2 \ 0 \ -\frac 13 \end{pmatrix}

Remarquons que nous pouvons définir de manière analogue les suites de matrices lignes, ainsi que leur éventuelle convergence.
Nous les étudierons plus particulièrement dans le cours sur les chaînes de Markov, avec les distributions initiales et invariantes.

Intéressons-nous maintenant à la convergence d’une suite de matrices du type Un+1=A×Un+CU{n+1}=A\times Un+C.

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Propriété

Soit AA une matrice carrée d’ordre mm, et CC une matrice colonne de taille mm.
Soit (Un)(Un) une suite de matrices colonnes de taille mm définie pour tout entier naturel nn par : Un+1=A×Un+CU{n+1}=A\times Un+C.
Si (Un)(U
n) est convergente, alors sa limite UU est une matrice colonne de taille $m$ qui vérifie :

U=A×U+CU=A\times U+C

La démonstration de cette propriété est simple.

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Démonstration

Nous avons, la suite (Un)(U_n) étant par hypothèse convergente et de limite UU :

d’une part : limn+Un+1=Ud’autre part : limn+A×UnU+C=A×U+C\begin{aligned} \textcolor{#A9A9A9}{\text{d’une part\ :\ }} \lim\limits{n \to +\infty} U{n+1} =U \ \ \textcolor{#A9A9A9}{\text{d’autre part\ :\ }} \lim\limits{n \to +\infty} A\times \overbrace{Un}^{\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\to U}}}+C &=A\times U+C \end{aligned}

  • Par unicité des limites, nous pouvons conclure :

U=A×U+CU=A\times U+C

Exercices et méthodologie

Nous allons maintenant appliquer ces définitions et propriétés sur deux exercices, exemples de ce que vous pourrez rencontrer comme problèmes, afin de donner les méthodes pour les résoudre.

Suites du type « Un+1=A×UnU{n+1}=A\times Un »

Cet exercice va notamment nous faire découvrir la méthodologie pour calculer la puissance d’une matrice grâce à la diagonalisation, que nous avons évoquée dans le cours sur le calcul matriciel.

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Exemple

Dans un pays de population constante égale à 120 millions120\ \text{millions}, les habitants vivent soit en zone rurale, soit en ville. Les mouvements de population peuvent être modélisés de la façon suivante :

  • en 2010, la population compte 90 millions90\ \text{millions} de ruraux et 30 millions30\ \text{millions} de citadins ;
  • chaque année, 10%10\,\% des ruraux émigrent à la ville ;
  • chaque année, 5%5\,\% des citadins émigrent en zone rurale.

Pour tout entier naturel nn, on note :

  • RnR_n l’effectif de la population rurale, exprimé en millions d’habitants, en l’année 2010+n2010 +n ;
  • CnC_n l’effectif de la population citadine, exprimé en millions d’habitants, en l’année 2010+n2010 +n.
  • On a donc R0=90R0=90 et C0=30C0=30.
  • Question 1

Soit la matrice M=(0,90,050,10,95)M=\begin{pmatrix} 0,9 & 0,05 \ 0,1 & 0,95 \end{pmatrix}.

Soit, pour tout entier naturel nn la matrice colonne Un=(RnCn)Un=\begin{pmatrix} Rn \ C_n \end{pmatrix}

a. Démontrer que, pour tout entier naturel nn, Un+1=M×UnU{n+1}=M\times Un.

Par définition de la suite de matrices colonnes $(U_n)$ :

Un+1=(Rn+1Cn+1)U{n+1}=\begin{pmatrix} R{n+1} \ C_{n+1} \end{pmatrix}

  • Rn+1R_{n+1} est l’effectif, à l’année 2010+(n+1)2010+(n+1), des ruraux.

D’après l’énoncé, pour l’obtenir, on retire au nombre de ruraux à l’année 2010+n2010+n 10%10\,\% de cet effectif (ceux qui émigrent en ville) et on ajoute le nombre de citadins qui émigrent en ville, soit 5%5\,\% de l’effectif des citadins à l’année 2010+n2010+n. Nous obtenons donc :

Rn+1=Rn0,1Rn+0,05Cn=0,9Rn+0,05Cn\begin{aligned} R{n+1}&=Rn-0,1Rn+0,05 Cn \ &= \purple{0,9 Rn+0,05 Cn} \end{aligned}

  • Cn+1C_{n+1} est l’effectif, à l’année 2010+(n+1)2010+(n+1), des citadins.

Toujours d’après l’énoncé et en suivant un raisonnement analogue à celui que nous venons de mener, nous obtenons :

Cn+1=Cn0,05Cn+0,1Rn=0,1Rn+0,95Cn\begin{aligned} C{n+1}&=Cn-0,05Cn+0,1 Rn \ &= \blue{0,1 Rn + 0,95 Cn} \end{aligned}

  • Calculons maintenant M×UnM\times U_n.

M×Un=(0,90,050,10,95)×(RnCn)=(0,9Rn+0,05Cn0,1Rn+0,95Cn)=(Rn+1Cn+1)=Un+1\begin{aligned} M\times Un &= \begin{pmatrix} 0,9 & 0,05 \ 0,1 & 0,95 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} Rn \ Cn \end{pmatrix} \ &=\begin{pmatrix} \purple{0,9 Rn + 0,05 Cn} \ \blue{0,1 Rn+0,95 Cn} \end{pmatrix} \ &= \begin{pmatrix} R{n+1} \ C{n+1} \end{pmatrix} \ &=U{n+1} \end{aligned}

  • Nous obtenons bien : Un+1=M×UnU{n+1}=M\times Un.

b. Calculer U1U_1. En déduire le nombre de ruraux et de citadins en 2011.

En utilisant la formule que nous venons de démontrer, nous pouvons écrire :

U1=M×U0=(0,90,050,10,95)×(9030)=(0,9×90+0,05×300,1×90+0,95×30)=(82,537,5)\begin{aligned} U1&=M\times U0 \ &=\begin{pmatrix} 0,9 & 0,05 \ 0,1 & 0,95 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 90 \ 30 \end{pmatrix} \ &=\begin{pmatrix} 0,9\times 90+0,05\times 30 \ 0,1\times 90+0,95\times 30 \end{pmatrix} \ &=\begin{pmatrix} 82,5 \ 37,5 \end{pmatrix} \end{aligned}

U1U_1 donne les effectifs à l’année 2010+1=20112010+1=2011.

  • Le nombre de ruraux en 2011 est donc : 82,5 milions82,5\ \text{milions}.
  • Le nombre de citadins en 2011 est donc : 37,5 milions37,5\ \text{milions}.
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Astuce

La population étant constante d’une année à l’autre et égale à 120 millions120\ \text{millions}, nous pouvons vérifier que notre résultat correspond :

82,5+37,5=12082,5+37,5=120

  • Question 2

Pour tout entier naturel nn non nul, exprimer UnUn en fonction de MnM^n et de U0U0.

  • D’après la propriété sur le terme général que nous avons vue plus haut, nous pouvons écrire que, pour tout entier naturel nn non nul :

Un=Mn×U0Un=M^n\times U0

Pour le démontrer, il suffirait d’utiliser un raisonnement par récurrence comme nous l’avons fait, avec une initialisation pour n=1n=1 (en utilisant le résultat du 1.b.).

  • Question 3

Soit la matrice P=(1121)P=\begin{pmatrix} 1 & 1 \ 2 & -1 \end{pmatrix}.

Montrer que la matrice (13132313)\begin{pmatrix} \dfrac 13 & \dfrac 13 \ \ \dfrac 23 & -\dfrac 13 \end{pmatrix} est la matrice inverse de PP.

  • On la notera P1P^{-1}.
  • Calculons le produit suivant :

(13132313)×P=(13132313)×(1121)=(13×1+13×213+13×(1)23×1+(13)×223×1+(13)×(1))=(1001)=I2\begin{aligned} \begin{pmatrix} \dfrac 13 & \dfrac 13 \ \ \dfrac 23 & -\dfrac 13 \end{pmatrix} \times P &= \begin{pmatrix} \dfrac 13 & \dfrac 13 \ \ \dfrac 23 & -\dfrac 13 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 & 1 \ 2 & -1 \end{pmatrix} \ &=\begin{pmatrix} \dfrac 13 \times 1+\dfrac 13 \times 2 & \dfrac 13+\dfrac 13\times (-1) \ \ \dfrac 23\times 1+\left(-\dfrac 13\right)\times 2 & \dfrac 23\times 1+\left(-\dfrac 13\right) \times (-1) \end{pmatrix} \ &=\begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix} \ &=I_2 \end{aligned}

  • De façon équivalente, nous obtenons :

P×(13132313)=(1121)×(13132313)=(1001)=I2\begin{aligned} P\times \begin{pmatrix} \dfrac 13 & \dfrac 13 \ \ \dfrac 23 & -\dfrac 13 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 1 & 1 \ 2 & -1\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} \dfrac 13 & \dfrac 13 \ \ \dfrac 23 & -\dfrac 13 \end{pmatrix} \ &=\begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix} \ &=I_2 \end{aligned}

  • PP admet bien pour matrice inverse :

P1=(13132313)P^{-1}=\begin{pmatrix} \dfrac 13 & \dfrac 13 \ \ \dfrac 23 & -\dfrac 13 \end{pmatrix}

  • Question 4

a. On pose D=P1×M×PD=P^{-1}\times M\times P. Calculer DD avec la calculatrice.

  • En utilisant les fonctions dédiées de la calculatrice, nous obtenons :

D=(1000,85)D=\begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 0,85 \end{pmatrix}

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Astuce

Nous pouvons d’ores et déjà remarquer que DD est une matrice diagonale.

  • Nous en déduisons donc, pour tout entier naturel nn :

Dn=(1000,85n)D^n=\begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 0,85^n\end{pmatrix}

b. Démontrer que M=P×D×P1M=P\times D\times P^{-1}.

La dernière formule nous donne : D=P1×M×PD=P^{-1}\times M\times P. Nous avons donc :

P×D=P×(P1×M×P)=(P×P1)×M×P=I2×M×P=M×PPuis : (P×D)×P1=(M×P)×P1=M×(P×P1)=M×I2=M\begin{aligned} P\times D &= P\times (P^{-1}\times M\times P) \ &= (P\times P^{-1})\times M\times P \ &= I2\times M\times P \ &=M\times P \ \ \textcolor{#A9A9A9}{\text{Puis\ :\ }}(P\times D)\times P^{-1} &=(M\times P)\times P^{-1} \ &=M\times (P\times P^{-1}) \ &=M\times I2 \ &=M \end{aligned}

  • Nous obtenons ainsi :

M=P×D×P1M= P\times D\times P^{-1}

c. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel nn non nul, Mn=P×Dn×P1M^n = P\times D^n\times P^{-1}.

Nous allons donc démontrer que, pour tout entier naturel nn non nul, la proposition « Mn=P×Dn×P1M^n = P\times D^n\times P^{-1} », est vraie.

  • Initialisation :

D’après ce que nous venons de montrer, nous avons :

M1=M=P×D×P1=P×D1×P1\begin{aligned} M^1&=M \ &= P\times D\times P^{-1} \ &= P\times D^1\times P^{-1} \end{aligned}

  • La proposition est vraie pour n=1n=1.
  • Hérédité :

Supposons la proposition vraie pour un entier quelconque k1k\geq1 : « Mk=P×Dk×P1M^{k} = P\times D^k\times P^{-1} ».

  • Montrons que, alors, la proposition est aussi vraie pour k+1k+1 : « Mk+1=P×Dk+1×P1M^{k+1} = P\times D^{k+1}\times P^{-1} ».

Nous avons donc :

Mk+1=M×Mk=(P×D×P1)×Mk [car la proposition est vraie pour n=1]=(P×D×P1)×(P×Dk×P1) [par hypotheˋse de reˊcurrence]=P×D×(P1×P)×Dk×P1 [par associativiteˊ]=P×D×I2×Dk×P1=P×D×Dk×P1=P×(D×Dk)×P1=P×Dk+1×P1\begin{aligned} M^{k+1} &= M\times M^k \ &= (P\times D\times P^{-1}) \times M^k \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car la proposition est vraie pour n=1n=1]}}} \ &=(P\times D\times P^{-1}) \times (P\times D^k\times P^{-1}) \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [par hypothèse de récurrence]}}} \ &=P\times D\times (P^{-1} \times P)\times D^k\times P^{-1} \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [par associativité]}}} \ &=P\times D\times I_2\times D^k\times P^{-1} \ &=P\times D\times D^k\times P^{-1} \ &=P\times (D\times D^k)\times P^{-1} \ &=P\times D^{k+1}\times P^{-1} \end{aligned}

  • Si la proposition est vraie au rang kk, alors elle est aussi vraie au rang k+1k+1.
  • Conclusion :

Nous avons montré que la proposition est vraie pour $n=1$ et qu’elle est héréditaire à partir de ce rang.

  • La propriété est vraie pour tout entier naturel non nul et, pour tout nNn\in \mathbb N^* :

Mn=P×Dn×P1M^n = P\times D^n\times P^{-1}

  • Question 5

a. On admet que le calcul matriciel précédent donne :

Mn=(13+23×0,85n1313×0,85n2323×0,85n23+13×0,85n)M^n=\begin{pmatrix} \dfrac 13 + \dfrac 23\times 0,85^n & \dfrac 13 - \dfrac 13\times 0,85^n \ \ \dfrac 23 - \dfrac 23\times 0,85^n & \dfrac 23 + \dfrac 13\times 0,85^n \end{pmatrix}

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Astuce

Effectuons tout de même le calcul, avec méthode et rigueur :

Mn=P×Dn×P1=(1121)×(1000,85n)×(13132313)=(10,85n20,85n)×(13132313)=(13+23×0,85n1313×0,85n2323×0,85n23+13×0,85n)\begin{aligned} M^n&=P\times D^n\times P^{-1} \ &=\begin{pmatrix} 1 & 1 \ 2 & -1 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 0,85^n \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} \dfrac 13 & \dfrac 13 \ \ \dfrac 23 & -\dfrac 13 \end{pmatrix} \ &=\begin{pmatrix} 1 & 0,85^n \ 2 & -0,85^n \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} \dfrac 13 & \dfrac 13 \ \ \dfrac 23 & -\dfrac 13 \end{pmatrix} \ &=\begin{pmatrix} \dfrac 13 + \dfrac 23\times 0,85^n & \dfrac 13 - \dfrac 13\times 0,85^n \ \ \dfrac 23 - \dfrac 23\times 0,85^n & \dfrac 23 + \dfrac 13\times 0,85^n \end{pmatrix} \end{aligned}

En déduire que, pour tout entier naturel nn, Rn=50×0,85n+40Rn = 50 \times 0, 85^n +40 et déterminer l’expression de CnCn en fonction de nn.

Nous avons montré à la question 2 que, pour tout entier naturel nn non nul :

Un=Mn×U0=(13+23×0,85n1313×0,85n2323×0,85n23+13×0,85n)×(9030)=(RnCn)\begin{aligned} Un &= M^n\times U0 \ &=\begin{pmatrix} \dfrac 13 + \dfrac 23\times 0,85^n & \dfrac 13 - \dfrac 13\times 0,85^n \ \ \dfrac 23 - \dfrac 23\times 0,85^n & \dfrac 23 + \dfrac 13\times 0,85^n \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 90 \ 30 \end{pmatrix} \ &=\begin{pmatrix} Rn \ Cn \end{pmatrix} \end{aligned}

Nous avons d’une part :

50×0,850+40=90=R050\times 0,85^0+40=90=R_0

Nous avons d’autre part, pour tout entier naturel nn non nul :

Rn=90×(13+23×0,85n)+30×(1313×0,85n)=30+60×0,85n+1010×0,85n=50×0,85n+40\begin{aligned} R_n &= 90\times \left(\dfrac 13+\dfrac 23\times 0,85^n\right) + 30\times \left(\dfrac 13-\dfrac 13\times 0,85^n\right) \ &=30+60\times 0,85^n + 10-10\times 0,85^n \ &=50\times 0,85^n+40 \end{aligned}

  • Ainsi, pour tout entier naturel nn : Rn=50×0,85n+40R_n = 50 \times 0, 85^n +40.

La population est constante et son effectif est égal à 120 millions120\ \text{millions}.

  • Nous en déduisons l’expression de CnC_n pour tout entier naturel nn :

Cn=120Rn=120(50×0,85n+40)=50×0,85n+80\begin{aligned} Cn&=120 - Rn \ &=120-(50 \times 0, 85^n +40) \ &=-50\times 0,85^n+80 \end{aligned}

c. Déterminer la limite de RnRn et de CnCn lorsque nn tend vers ++\infty. Que peut-on en conclure pour la population étudiée ?

Par le théorème de la limite de (qn)(q^n), avec q=0,85q=0,85, nous avons :

limn+0,85n=0\lim\limits_{n \to +\infty} 0,85^n=0

Nous trouvons donc :

limn+Rn=limn+50×0,85n+40=40limn+Cn=limn+50×0,85n+80=80\begin{aligned} \lim\limits{n \to +\infty} Rn &= \lim\limits{n \to +\infty} 50\times 0,85^n+40 \ &=40 \ \ \lim\limits{n \to +\infty} Cn&=\lim\limits{n \to +\infty} -50\times 0,85^n+80 \ &=80 \end{aligned}

  • De ces limites, nous déduisons que, à long terme, l’effectif de la population rurale se stabilisera autour de 40 millions40\ \text{millions}, tandis que celui de la population citadine se stabilisera autour de 80 millions80\ \text{millions}.

Allons un peu plus loin, car nous nous rendons compte que, à long terme, les citadins seront plus nombreux que les ruraux, alors que la situation est inverse en 2010.
Cherchons donc à partir de quelle année les effectifs s’inversent.

Il suffit de résoudre l’inéquation : Rn<CnRnn.
Nous avons donc :

Rn<Cn50×0,85n+40<50×0,85n+8050×0,85n+50×0,85n<8040100×0,85n<400,85n<0,4ln(0,85n)<ln(0,4)[car ln est strictement croissante sur R+]nln(0,85)<ln(0,4) [car ln(an)=nln(a)]nln(0,4)ln(0,85) [car 0,85<1 et ln(0,85)<0]n6 [en arrondissant aˋ l’entier supeˊrieur]\begin{aligned} R_n\dfrac {\ln{(0,4)}}{ \ln{(0,85)}} \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car $0,85<1$ et $\ln{(0,85)}<0$]}}} \ &\Leftrightarrow n\geq 6 \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [en arrondissant à l’entier supérieur]}}} \end{aligned}

  • La population citadine dépassera la population rurale à partir de l’année 2010+62010+6, soit à partir de l’année 2016.

Suites du type « Un+1=A×Un+CU{n+1}=A\times Un+C »

bannière exemple

Exemple

Un opérateur téléphonique A souhaite prévoir l’évolution du nombre de ses abonnés dans une grande ville par rapport à son principal concurrent B à partir de 2020.
En 2020, les opérateurs A et B ont chacun 300 milliers300\ \text{milliers} d’abonnés.

Pour tout entier naturel nn, on note anan le nombre d’abonnés, en milliers, de l’opérateur AA la n-ieˋmen \text{-ième} année après 2020, et bnbn le nombre d’abonnés, en milliers, de l’opérateur BB la n-ieˋmen \text{-ième} année après 2020.

  • Ainsi : a0=300a0 = 300 et b0=300b0 = 300.

Des observations réalisées les années précédentes conduisent à modéliser la situation par la relation suivante, pour tout entier naturel nn :

{an+1=0,7an+0,2bn+60bn+1=0,1an+0,6bn+70\begin{aligned} \begin{cases} a{n+1}=0,7an+0,2bn+60 \ b{n+1}=0,1an+0,6bn+70 \end{cases} \end{aligned}

On considère les matrices :

M=(0,70,20,10,6) et P=(6070)M=\begin{pmatrix} 0,7 & 0,2 \ 0,1 & 0,6 \end{pmatrix} \textcolor{#A9A9A9}{\text{ et }} P=\begin{pmatrix} 60 \ 70 \end{pmatrix}

Pour tout entier naturel nn, on note UnU_n la matrice :

Un=(anbn)Un=\begin{pmatrix} an \ b_n \end{pmatrix}

  • Question 1

a. Déterminer U1U_1.

Par définition de UnU_n, nous avons :

U1=(a1b1)=(0,7a0+0,2b0+600,1a0+0,6b0+70)[par deˊfinition des suites (an) et (bn)]=(0,7×300+0,2×300+600,1×300+0,6×300+70)=(330280)\begin{aligned} U1&=\begin{pmatrix} a1 \ b1 \end{pmatrix} \ &=\begin{pmatrix} 0,7a0+0,2b0+60 \ 0,1a0+0,6b0+70 \end{pmatrix} \ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[par définition des suites (an)(an) et $(b_n)$]}}} \ &=\begin{pmatrix} 0,7\times 300+0,2\times 300+60 \ 0,1\times 300+0,6\times 300+70 \end{pmatrix} \ &=\begin{pmatrix} 330 \ 280 \end{pmatrix} \end{aligned}

b. Vérifier que, pour tout entier naturel nn, Un+1=M×Un+PU{n+1}=M\times Un+P.

Nous calculons la formule donnée :

M×Un+P=(0,70,20,10,6)×(anbn)+(6070)=(0,7an+0,2bn0,1an+0,6bn)+(6070)=(0,7an+0,2bn+600,1an+0,6bn+70)=(an+1bn+1)=Un+1\begin{aligned} M\times Un+P&= \begin{pmatrix} 0,7 & 0,2 \ 0,1 & 0,6 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} an \ bn \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 60 \ 70 \end{pmatrix} \ &=\begin{pmatrix} 0,7an+0,2bn \ 0,1an+0,6bn \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 60 \ 70 \end{pmatrix} \ &=\begin{pmatrix} 0,7an+0,2bn+60 \ 0,1an+0,6bn+70 \end{pmatrix} \ &=\begin{pmatrix} a{n+1} \ b{n+1} \end{pmatrix} \ &=U{n+1} \end{aligned}

  • Nous avons donc bien, pour tout entier naturel nn : Un+1=M×Un+PU{n+1}=M\times Un+P.
  • Question 2

On note II la matrice (1001)\begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 &1 \end{pmatrix}.

a. Calculer (IM)×(4213)(I-M)\times \begin{pmatrix} 4 & 2 \ 1 & 3 \end{pmatrix}.

Commençons par calculer IMI-M :

IM=(1001)(0,70,20,10,6)=(0,30,20,10,4)\begin{aligned} I-M &= \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 &1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0,7 & 0,2 \ 0,1 & 0,6 \end{pmatrix} \ &=\begin{pmatrix} 0,3 & -0,2 \ -0,1 & 0,4 \end{pmatrix} \end{aligned}

Effectuons maintenant le produit :

(IM)×(4213)=(0,30,20,10,4)×(4213)=(0,3×40,2×10,3×20,2×30,1×4+0,4×10,1×2+0,4×3)=(100 1)=I\begin{aligned} (I-M)\times \begin{pmatrix} 4 & 2 \ 1 & 3 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 0,3 & -0,2 \ -0,1 & 0,4 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 4 & 2 \ 1 & 3 \end{pmatrix} \ &=\begin{pmatrix} 0,3\times 4 - 0,2 \times 1 & 0,3\times 2-0,2\times 3 \ -0,1\times 4 + 0,4\times 1 & -0,1\times 2+0,4\times 3 \end{pmatrix} \ &=\begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0\ & 1\end{pmatrix} \ &=I \end{aligned}

b. En déduire que la matrice IMI-M est inversible et préciser son inverse.

Nous venons de montrer que :

(IM)×(4213)=I(I-M)\times \begin{pmatrix} 4 & 2 \ 1 & 3 \end{pmatrix} = I

  • Cela signifie que IMI-M est inversible et :

(IM)1=(4213)(I-M)^{-1}=\begin{pmatrix} 4 & 2 \ 1 & 3 \end{pmatrix}

c. Déterminer la matrice UU telle que U=M×U+PU=M\times U+P.

Nous allons isoler UU pour résoudre cette équation :

U=M×U+PUM×U=P(IM)×U=P(IM)1×(IM)×U=(IM)1×P[nous avons montreˊ que IM est inversible]I×U=(IM)1×PU=(IM)1×P\begin{aligned} U=M\times U+P &\Leftrightarrow U-M\times U=P \ &\Leftrightarrow (I-M)\times U=P \ &\Leftrightarrow (I-M)^{-1}\times (I- M)\times U=(I- M)^{-1}\times P \ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[nous avons montré que $I-M$ est inversible]}}} \ &\Leftrightarrow I\times U=(I- M)^{-1}\times P \ &\Leftrightarrow U=(I- M)^{-1}\times P \end{aligned}

  • En nous servant du calcul du 2.b. et des coefficients de PP, nous obtenons :

U=(4213)×(6070)=(4×60+2×701×60+3×70)=(380270)\begin{aligned} U&= \begin{pmatrix} 4 & 2 \ 1 & 3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 60 \ 70 \end{pmatrix} \ &= \begin{pmatrix} 4\times 60+2\times 70 \ 1\times 60+3\times70 \end{pmatrix} \ &=\begin{pmatrix} 380 \ 270 \end{pmatrix} \end{aligned}

  • Question 3

Pour tout entier naturel nn, on pose : Vn=UnUVn = Un-U.

a. Justifier que, pour tout entier naturel nn, Vn+1=M×VnV{n+1} = M\times Vn.

Pour tout entier naturel nn :

Vn+1=Un+1U [par deˊfinition de (Vn)]=M×Un+P(M×U+P)[par deˊfinition de (Un) et car U=M×U+P]=M×UnM×U=M×(UnU)=M×Vn [toujours par deˊfinition de (Vn)]\begin{aligned} V{n+1} &= U{n+1} - U \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [par définition de (Vn)(Vn)]}}} \ &= M\times Un+P - (M\times U + P) \ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[par définition de $(U_n)$ et car $U=M\times U+P$]}}} \ &=M\times Un - M\times U \ &=M\times (Un-U) \ &=M\times Vn \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [toujours par définition de (Vn)(Vn)]}}} \end{aligned}

  • Nous avons donc bien, pour tout entier naturel nn :

Vn+1=M×VnV{n+1}=M\times Vn

b. En déduire que, pour tout entier naturel nn, Vn=Mn×V0Vn = M^n \times V0.

Nous avons montré que la suite de matrices colonnes $(V_n)$ est définie, pour tout entier naturel nn, par : Vn+1=M×VnV{n+1}=M\times Vn.

  • Nous pouvons donc en déduire que son terme général est, pour tout entier naturel nn :

Vn=Mn×V0Avec : V0=U0U=(300300)(380270)=(8030)\begin{aligned} Vn&=M^n\times V0 \ \ \textcolor{#A9A9A9}{\text{Avec\ :\ }}V0&=U0-U \ &= \begin{pmatrix} 300 \ 300 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 380 \ 270 \end{pmatrix} \ &=\begin{pmatrix} -80 \ 30 \end{pmatrix} \end{aligned}

  • Question 4 :

On admet que, pour tout entier naturel nn :

Vn=(1003×0,8n1403×0,5n503×0,8n+1403×0,5n)V_n=\begin{pmatrix} -\dfrac {100}3\times 0,8^n - \dfrac {140}3\times 0,5^n \ \ -\dfrac {50}3\times 0,8^n + \dfrac {140}3\times 0,5^n \end{pmatrix}

a. Pour tout entier naturel nn, exprimer UnUn en fonction de nn et en déduire la limite de la suite (an)(an).

D’après la définition de $(V_n)$, nous avons, pour tout entier naturel nn :

Vn=UnUUn=Vn+UVn=Un-U \Leftrightarrow Un=Vn+U

  • Et en utilisant l’égalité admise ci-dessus, nous obtenons, pour tout entier naturel nn :

Un=(1003×0,8n1403×0,5n503×0,8n+1403×0,5n)+(380270)=(1003×0,8n1403×0,5n+380503×0,8n+1403×0,5n+270)=(anbn)\begin{aligned} Un&=\begin{pmatrix} -\dfrac {100}3\times 0,8^n - \dfrac {140}3\times 0,5^n \ \ -\dfrac {50}3\times 0,8^n + \dfrac {140}3\times 0,5^n \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 380 \ 270 \end{pmatrix} \ &=\begin{pmatrix} -\dfrac {100}3\times 0,8^n - \dfrac {140}3\times 0,5^n + 380 \ \ -\dfrac {50}3\times 0,8^n + \dfrac {140}3\times 0,5^n+270 \end{pmatrix} \ &=\begin{pmatrix} an \ b_n \end{pmatrix} \end{aligned}

Nous en déduisons que, pour tout entier naturel nn :

an=1003×0,8n1403×0,5n+380a_n=-\dfrac {100}3\times 0,8^n - \dfrac {140}3\times 0,5^n + 380

Or, par le théorème de la limite de (qn)(q^n), et comme 0<0,8<10<0,8<1 et 0<0,5<10<0,5<1 :

limn+0,8n=limn+0,5n=0\lim\limits{n \to +\infty} 0,8^n = \lim\limits{n \to +\infty} 0,5^n=0

  • Nous pouvons finalement conclure que, pour tout entier naturel nn :

limn+an=limn+1003×0,8n01403×0,5n0+380=380\begin{aligned} \lim\limits{n \to +\infty} an &= \lim\limits_{n \to +\infty} -\overbrace{\dfrac {100}3\times 0,8^n}^{\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\to 0}}} - \overbrace{\dfrac {140}3\times 0,5^n}^{\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\to 0}}} + 380 \ &=380 \end{aligned}