Nombres complexes et trigonométrie

Nombres complexes et trigonométrie

Introduction :

Le cours précédent nous a permis d’introduire l’écriture trigonométrique d’un nombre complexe non nul via la définition de son module et d’un argument. Ce cours va développer le passage d’une écriture algébrique à une écriture trigonométrique et inversement.
Il va aussi permettre de définir et d’utiliser les formules de trigonométrie d’addition et de duplication.
Enfin une troisième écriture du nombre complexe, l’écriture exponentielle, va à son tour être définie.

  • Dans tout ce cours, nous considérerons le plan muni d’un repère orthonormé direct (O ;u,v)(O\ ;\, \vec{u},\,\vec{v}), que l’on appellera plan complexe.

Trigonométrie : formules d’addition et de duplication

Rappel sur le produit scalaire

Considérons un repère orthonormé (0 ;u,v)(0\ ;\, \vec{u},\, \vec{v}) et deux vecteurs s\vec{s} et t\vec{t} de coordonnées :

s(xy) et t(xy)\vec{s} \begin{pmatrix} x\ y \end{pmatrix} \text{ et } \vec{t}\begin{pmatrix} x^{\prime} \ y^{\prime}\end{pmatrix}

Alors le produit scalaire st\vec{s}\cdot \vec{t} vaut :

  • avec les coordonnées :

st=xx+yy\vec{s}\cdot \vec{t}=xx^{\prime}+yy^{\prime}

  • avec la définition du produit scalaire :

st=s×t×cos(s,t)\vec{s}\cdot \vec{t}=\Vert \vec{s}\,\Vert \times \Vert\vec{t}\,\Vert \times \cos{(\vec{s},\,\vec{t})}

  • Pour rappel s\Vert\vec{s}\,\Vert est la norme du vecteur s\vec{s}, c’est-à-dire sa longueur.

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Formules d’addition

Pour exprimer les formules d’addition et de duplication de trigonométrie, on peut choisir des vecteurs de norme 11 tels que :

s(cos(a)sin(a)) et t(cos(b)sin(b))\vec{s}\begin{pmatrix} \cos{(a)} \ \sin{(a)} \end{pmatrix} \text{ et } \vec{t} \begin{pmatrix} \cos {(b)} \ \sin{(b)} \end{pmatrix}

Avec a=(u,s)a=(\vec{u},\,\vec{s}) et b=(u,t)b=(\vec{u},\,\vec{t}).

En effet, pour tout réel xx, cos2(x)+sin2(x)=1\cos^2(x)+\sin^2(x)=1, donc la norme des deux vecteurs s\vec{s} et t\vec{t} est bien 11.

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Calculons alors le produit scalaire st\vec{s}\cdot \vec{t}.

  • Avec les coordonnées, nous obtenons :

st=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)\vec{s}\cdot \vec{t}=\cos{(a)}\cos{(b)}+\sin{(a)}\sin{(b)}

  • Et avec les angles et normes :

st=s×t×cos(s,v)=1×1×cos(ba)=cos(ba)\begin{aligned} \vec{s}\cdot \vec{t}&=\Vert \vec{s}\Vert \times \Vert\vec{t}\Vert \times \cos{(\vec{s},\,\vec{v})} \ &=1\times 1 \times \cos{(b-a)} \ &=\cos(b-a) \end{aligned}

  • On a donc :

st=cos(ba)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)\vec{s}\cdot \vec{t}=\cos{(b-a)}=\cos{(a)}\cos{(b)}+\sin{(a)}\sin{(b)}

De plus, nous connaissons les propriétés du cosinus et du sinus d’angles associés.

  • Pour tout réel xx :

cos(x)=cos(x)sin(x)=sin(x)cos(x)=sin(π2x)sin(x)=cos(π2x)\begin{aligned} \cos{(-x)} &=\cos{(x)} \ \sin{(-x)} &=-\sin{(x)} \ \cos{(x)}&= \sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right) \ \sin{(x)}&=\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right) \end{aligned}

On peut en déduire l’ensemble des formules d’addition.

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Propriété

Pour tous réels aa, bb on a :

cos(ab)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)cos(a+b)=cos(a)cos(b)sin(a)sin(b)sin(ab)=sin(a)cos(b)cos(a)sin(b)sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b)\begin{aligned} \cos{(a-b)}&=\cos{(a)}\cos{(b)}+\sin{(a)}\sin{(b)} \ \cos(a+b)&=\cos{(a)}\cos{(b)}-\sin{(a)}\sin{(b)} \ \sin{(a-b)}&=\sin{(a)}\cos{(b)}-\cos{(a)}\sin{(b)} \ \sin{(a+b)}&=\sin{(a)}\cos{(b)}+\cos{(a)}\sin{(b)} \end{aligned}

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Démonstration

En effet, on a vu que : cos(ab)=cos(ba)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)\cos{(a-b)}=\cos{(b-a)}=\cos{(a)}\cos{(b)}+\sin{(a)}\sin{(b)}

Nous avons donc :

cos(a+b)=cos(a(b))=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)=cos(a)cos(b)sin(a)sin(b)\begin{aligned} \cos{(a+b)}&=\cos{\big(a-(-b)\big)} \ &=\cos{(a)}\cos{(-b)}+\sin{(a)}\sin{(-b)} \ &=\cos{(a)}\cos{(b)}-\sin{(a)}\sin{(b)} \end{aligned}

De même pour passer de cosinus à sinus :

sin(a+b)=cos(π2(a+b))=cos((π2a)b)=cos(π2a)cos(b)+sin(π2a)sin(b)=sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b)\begin{aligned} \sin{(a+b)}&=\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-(a+b)\right) \ &=\cos\bigg(\left(\dfrac{\pi}{2}-a\right)-b\bigg) \ &=\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-a\right)\cos{(b)}+\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-a\right)\sin{(b)} \ &=\sin{(a)}\cos{(b)}+\cos{(a)}\sin{(b)} \end{aligned}

Et nous avons enfin :

sin(ab)=sin(a+(b))=sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b)=sin(a)cos(b)cos(a)sin(b)\begin{aligned} \sin{(a-b)}&= \sin\big(a+(-b)\big) \ &=\sin{(a)}\cos{(-b)}+\cos{(a)}\sin{(-b)} \ &=\sin{(a)}\cos{(b)}-\cos{(a)}\sin{(b)} \end{aligned}

Prenons un exemple pour montrer l’utilité de ces formules.

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Exemple

En remarquant que π12=π3π4\frac{\pi}{12}=\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}, on peut déterminer les valeurs exactes de cos(π12)\cos\left(\frac{\pi}{12}\right) et sin(π12)\sin\left(\frac{\pi}{12}\right) :

cos(π12)=cos(π3π4)=cos(π3)cos(π4)+sin(π3)sin(π4)=12×22+32×22=2+64sin(π12)=sin(π3π4)=sin(π3)cos(π4)cos(π3)sin(π4)=32×2212×22=624\begin{aligned} \cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right)&=\cos\left(\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4}\right) \ &=\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)+\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) \ &=\dfrac{1}{2} \times \dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2} \times \dfrac{\sqrt{2}}{2} \ &=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4} \ \ \sin\left(\dfrac{\pi}{12}\right)&=\sin\left(\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4}\right) \ &=\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)-\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) \ &=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \times \dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{1}{2} \times \dfrac{\sqrt{2}}{2} \ &=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \end{aligned}

Dans le cours précédent, nous avons démontré que le module d’un produit est égal au produit des modules. Nous avons aussi vu que l’argument d’un produit est la somme des arguments.

  • Nous allons ici, grâce aux formules d’addition que nous venons de voir, démontrer ces deux propriétés.
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Démonstration

Soit zz et zz^{\prime} deux nombres complexes non nuls, respectivement de modules rr et rr^{\prime}, et d’arguments θ=arg(z)\theta=\arg{(z)} et θ=arg(z)\theta^{\prime}=\arg{(z^{\prime})}.

  • Écrivons la forme trigonométrique des nombres zz et zz^{\prime} :

z=r(cos(θ)+isin(θ))z=r(cos(θ)+isin(θ))\begin{aligned} z&=r \big(\cos{(\theta)} + \text{i}\sin{(\theta)}\big) \ z^{\prime}&=r^{\prime} \big(\cos{(\theta^{\prime})} + \text{i}\sin{(\theta^{\prime})}\big) \end{aligned}

  • Calculons zzzz^{\prime} :

zz=(r(cos(θ)+isin(θ)))×(r(cos(θ)+isin(θ)))=rr(cos(θ)cos(θ)+icos(θ)sin(θ)+isin(θ)cos(θ)+i2sin(θ)sin(θ))=rr(cos(θ)cos(θ)sin(θ)sin(θ)+i(cos(θ)sin(θ)+sin(θ)cos(θ)))=rr(cos(θ+θ)+isin(θ+θ))[avec les formules d’addition]\begin{aligned} z z^{\prime} &= \Big(r \big(\cos{(\theta)} + \text{i}\sin{(\theta)}\big)\Big) \times \Big(r^{\prime} \big(\cos{(\theta^{\prime})} + \text{i}\sin{(\theta^{\prime})}\big)\Big) \ &=rr ^{\prime} \big(\cos{(\theta)}\cos{(\theta^{\prime})} + \text{i}\cos{(\theta)}\sin{(\theta^{\prime})} \ &\quad\quad\quad+ \text{i}\sin{(\theta)}\cos{(\theta^{\prime})}+ \text{i}^2\sin{(\theta)}\sin{(\theta^{\prime})}\big) \ &=rr^{\prime}\Big( \green{\cos{(\theta)}\cos{(\theta^{\prime})}-\sin{(\theta)}\sin{(\theta^{\prime})}} \ &\quad\quad\quad+ \text{i} \big(\purple{\cos{(\theta)}\sin{(\theta^{\prime})}+\sin{(\theta)}\cos{(\theta^{\prime})}}\big)\Big) \ &=rr^{\prime}\big(\green{\cos{(\theta+\theta^{\prime})}}+\text{i} \purple{\sin{(\theta+\theta^{\prime})}}\big) \ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[avec les formules d’addition]}}} \end{aligned}

  • L’écriture trigonométrique étant unique, nous avons :

zz=rrzz(cos(θ+θ)arg(zz)+isin(θ+θ)arg(zz))zz^{\prime}=\underbrace{rr^{\prime}}{\vert zz^\prime\vert}\big(\cos{\underbrace{(\theta+\theta^{\prime})}{\arg{(zz^\prime)}}}+\text{i} \sin{\underbrace{(\theta+\theta^{\prime})}_{\arg{(zz^\prime)}}}\big)

Nous obtenons donc :

zz=rr=z×zarg(zz)=θ+θ=arg(z)+arg(z)\begin{aligned} \vert zz^{\prime}\vert &=rr^{\prime} \ &=\vert z\vert \times \vert z^{\prime}\vert \ \ \arg{(zz^{\prime})}&=\theta + \theta^{\prime} \ &=\arg{(z)}+\arg{(z^{\prime})} \end{aligned}

Formules de duplication

En posant a=ba=b et sachant que cos2(a)+sin2(a)=1\cos^2(a)+\sin^2(a)=1, on peut déduire des formules d’addition ci-dessus les formules de duplication.

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Propriété

Pour tout réel aa, on a :

cos(2a)=cos2(a)sin2(a)=12sin2(a)=2cos2(a)1sin(2a)=2cos(a)sin(a)\begin{aligned} \cos{(2a)}&=\cos^2(a)-\sin^2(a) \ &=1-2\sin^2(a) \ &=2\cos^2(a)-1 \ \ \sin{(2a)}&=2\cos{(a)}\sin{(a)} \end{aligned}

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Exemple

En se servant de la formule de duplication, on peut déterminer les valeurs exactes de cos(π8)\cos\left(\frac{\pi}{8}\right) et sin(π8)\sin\left(\frac{\pi}{8}\right).

En effet les valeurs de cos(π4)\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) et sin(π4)\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) sont remarquables, donc connues, et on voit que 2×π8=π42\times \frac{\pi}{8}=\frac{\pi}{4}.

  • On a alors :

cos(π4)=cos(2×π8)=12sin2(π8)=2cos2(π8)1=22\begin{aligned} \cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)&=\cos\left(2\times \dfrac{\pi}{8}\right) \ &=1-2 \sin^2\left(\dfrac{\pi}{8}\right) \ &=2\cos^2\left(\dfrac{\pi}{8}\right)-1 \ &=\dfrac{\sqrt 2}{2} \end{aligned}

Nous avons donc :

12sin2(π8)=222sin2(π8)=1222sin2(π8)=222sin2(π8)=224\begin{aligned} 1-2 \sin^2\left(\dfrac{\pi}{8}\right)=\dfrac{\sqrt 2}{2}&\Leftrightarrow 2 \sin^2\left(\dfrac{\pi}{8}\right)=1-\dfrac{\sqrt 2}{2} \ &\Leftrightarrow 2 \sin^2\left(\dfrac{\pi}{8}\right)=\dfrac{2-\sqrt{2}}{2} \ &\Leftrightarrow \sin^2\left(\dfrac{\pi}{8}\right)=\dfrac{2-\sqrt{2}}{4} \end{aligned}

Et, comme 0<π8<π20<\frac{\pi}{8}<\frac{\pi}{2}, le sinus est positif. Donc :

sin(π8)=224=222\begin{aligned} \sin\left(\dfrac{\pi}{8}\right)&=\sqrt{\dfrac{2-\sqrt{2}}{4}} \ &=\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2} \end{aligned}

De la même façon, nous pouvons calculer le cosinus :

2cos2(π8)1=222cos2(π8)=1+222cos2(π8)=2+22cos2(π8)=2+24\begin{aligned} 2\cos^2\left(\dfrac{\pi}{8}\right)-1=\dfrac{\sqrt 2}{2} &\Leftrightarrow 2\cos^2\left(\dfrac{\pi}{8}\right)=1+\dfrac{\sqrt 2}{2} \ &\Leftrightarrow2\cos^2\left(\dfrac{\pi}{8}\right)=\dfrac{2+\sqrt 2}{2} \ &\Leftrightarrow \cos^2\left(\dfrac{\pi}{8}\right)=\dfrac{2+\sqrt{2}}{4} \end{aligned}

Et comme 0<π8<π20<\frac{\pi}{8}<\frac{\pi}{2}, le cosinus est aussi positif. Donc :

cos(π8)=2+24=2+22\begin{aligned} \cos\left(\dfrac{\pi}{8}\right)&=\sqrt{\dfrac{2+\sqrt{2}}{4}} \ &=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} \end{aligned}

Écriture exponentielle d’un nombre complexe

Définition

Nous allons maintenant découvrir une troisième forme d’écriture pour les nombres complexes : l’écriture exponentielle.

Considérons deux nombres complexes zz et zz^{\prime} non nuls dont le module est égal à 11 et dont des arguments respectifs sont θ\theta et θ\theta^{\prime}.
En les écrivant sous leur forme trigonométrique, nous avons montré plus haut l’égalité :

((cos(θ)+isin(θ))((cos(θ)+isin(θ))=cos(θ+θ)+isin(θ+θ)\big((\cos{(\theta)}+ \text{i}\sin{(\theta)}\big) \big((\cos{(\theta^{\prime})}+ \text{i}\sin{(\theta^{\prime})}\big) = \cos{(\theta+\theta^{\prime})}+\text{i}\sin{(\theta+\theta^{\prime})}

Considérons la fonction :

f:RCθf(θ)=cos(θ)+isin(θ)\begin{aligned} f: \mathbb R &\to \mathbb C \ \theta &\mapsto f(\theta)= \cos{(\theta)}+ \text{i}\sin{(\theta)} \end{aligned}

Nous avons alors, pour tous réels θ\theta et θ\theta ^{\prime} :

f(θ)×f(θ)=f(θ+θ)f(\theta)\times f(\theta^{\prime})=f(\theta+\theta^{\prime})

  • Cela nous évoque la propriété fonctionnelle de l’exponentielle :

eθ×eθ=eθ+θ\text{e}^\theta \times \text{e}^{\theta^{\prime}}=\text{e}^{\theta+\theta^{\prime}}

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À retenir

Par analogie avec la fonction exponentielle, nous notons, pour tout θ\theta réel :

eiθ=cos(θ)+isin(θ)\text{e}^{\text{i}\theta}=\cos{(\theta)}+\text{i}\sin{(\theta)}

  • Nous en déduisons les égalités suivantes.

ei0=cos(0)+isin(0)=1eiπ2=cos(π2)+isin(π2)=ieiπ=cos(π)+isin(π)=1\begin{aligned} \text{e}^{\text{i}0} &= \cos{(0)}+\text{i}\sin{(0)} \ &=1 \ \ \text{e}^{\text{i}\frac \pi2} &= \cos\left(\dfrac \pi2\right)+\text{i}\sin\left(\dfrac \pi2\right) \ &=\text{i} \ \ \text{e}^{\text{i}\pi} &= \cos{(\pi)}+\text{i}\sin{(\pi)} \ &=-1 \end{aligned}

Nous pouvons noter cette dernière égalité ainsi :

eiπ+1=0\text{e}^{\text{i}\pi}+1=0

Cette formule, connue sous le nom d’identité d’Euler, est considérée par nombre de mathématiciens comme la plus « belle » formule mathématique.

  • En effet, elle relie les grandes constantes mathématiques (00, 11, π\pi, e\text{e} et i\text{i}) par les trois opérations élémentaires (produit, somme et égalité).

Nous pouvons maintenant définir cette nouvelle forme.

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Définition

Écriture exponentielle d’un nombre complexe :

Tout nombre complexe zz non nul peut s’écrire sous la forme z=reiθz=r \text{e}^{\text{i}\theta}, avec r=zr=\vert z\vert (module de zz) et θ=arg(z)[2π]\theta=\arg{(z)\,[2\pi]}.

  • Cette écriture est appelée écriture exponentielle de zz.

Et réciproquement, si on peut écrire z=reiθz=r \text{e}^{\text{i}\theta}, avec rr un réel strictement positif, alors rr est le module de zz et θ\theta un argument de zz.

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Attention

Dans l’écriture z=reiθz=r \text{e}^{\text{i}\theta}, pour que ce soit la forme exponentielle de zz, il faut bien veiller à ce que rr soit strictement positif.

Par exemple, z=3eiπ6z=-3\text{e}^{\text{i}\frac \pi6} n’est pas écrit sous sa forme exponentielle !

  • Nous verrons plus bas comment l’écrire sous sa forme exponentielle.
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Exemple

Soit le nombre complexe z=2eiπ3z=2 \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}.
Pour placer le point CC associé à zz dans le plan complexe, nous remarquons que le module de zz est égal à 22, donc la distance OC=2OC=2 (module de zz).

  • CC est sur le cercle de centre OO et de rayon 22.

Ensuite, on a la mesure de l’angle (u,OC )=π3(\vec{u},\,\overrightarrow{OC\ })=\frac{\pi}{3}, ce qui permet de placer le point CC :

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  • L’écriture trigonométrique de zz est donc :

z=2(cos(π3)+isin(π3))z=2\Bigg(\cos\bigg(\dfrac{\pi}{3}\bigg)+\text{i} \sin\bigg(\dfrac{\pi}{3}\bigg)\Bigg)

  • Ce qui nous permet d’en déduire son écriture algébrique :

z=2(12+i32)=1+i3\begin{aligned} z&=2\left(\dfrac{1}{2}+\text{i} \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) \ &=1+\text{i}\sqrt{3} \end{aligned}

Propriétés de la forme exponentielle

Nous allons maintenant donner un certain nombre de propriétés, listées ci-dessous, en lien avec la fonction exponentielle et les propriétés trigonométriques.

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Propriété

On prend ici zz et zz^{\prime} deux nombres complexes non nuls, dont les écritures exponentielles sont :

z=reiθz=reiθ\begin{aligned} z&=r \text{e}^{\text{i}\theta} \ z^{\prime}&=r^{\prime} \text{e}^{\text{i}\theta^{\prime}} \end{aligned}

On a alors, avec nn et kk des entiers relatifs :

1.z×z=r×r×ei(θ+θ)2.zn=rneinθ3.ei(θ+2kπ)=eiθ4.1z=1r×eiθ5.zz=rr×ei(θθ)6.(eiθ)=eiθ\begin{aligned} \textcolor{#A9A9A9}{\text{1.}\quad}&z\times z^{\prime}=r \times r^{\prime} \times \text{e}^{\text{i}(\theta+\theta^{\prime})} \ \textcolor{#A9A9A9}{\text{2.}\quad}&z^n=r^n \text{e}^{\text{i} n\theta} \ \textcolor{#A9A9A9}{\text{3.}\quad}&\text{e}^{\text{i}(\theta+2k \pi)}=\text{e}^{\text{i} \theta} \ \textcolor{#A9A9A9}{\text{4.}\quad}&\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{r}\times \text{e}^{- \text{i} \theta} \ \textcolor{#A9A9A9}{\text{5.}\quad}&\dfrac{z}{z^{\prime}}=\dfrac{r}{r^{\prime}} \times \text{e}^{\text{i}( \theta-\theta^{\prime})} \ \textcolor{#A9A9A9}{\text{6.}\quad}&\overline{(\text e^{\text i \theta})}=\text e^{-\text i \theta} \end{aligned}

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À retenir

Les écritures exponentielles des nombres complexes sont particulièrement adaptées pour calculer les produits, les quotients et les puissances de nombres complexes, en utilisant les propriétés ci-dessus.

Pour nous en convaincre, traitons quelques exemples.

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Exemple

Soit les nombres complexes suivants :

z1=3eiπ4z2=2ei2π3\begin{aligned} z1&=3\,\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}} \ z2&=2\,\text{e}^{-\text{i}\frac{2\pi}{3}} \end{aligned}

  • z1z1 et z2z2 ont respectivement pour modules 33 et 22, et pour arguments π4\frac \pi 4 et 2π3-\frac {2\pi}3.
  • Calculons le produit de z1z1 et z2z2 (propriété 1).

z1×z2=3×2×eiπ4i2π3=6ei5π12\begin{aligned} z1\times z2&=3\times 2\times \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}-\text{i}\frac{2\pi}{3}} \ &=6\, \text{e}^{- \text{i}\frac{5\pi}{12}} \end{aligned}

  • Calculons z1z_1 à la puissance 44 (propriété 2).

z14=34×e4×iπ4=81×eiπ=81 [car eiπ=1]\begin{aligned} z_1^4&=3^4\times \text{e}^{4\times \text{i}\frac{\pi}{4}} \ &=81\times \text{e}^{\text{i}\pi} \ &=-81 \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car $\text{e}^{\text i \pi}=-1$]}}} \end{aligned}

  • Calculons le quotient de z1z1 par z2z2 (propriété 5).

z1z2=32×eiπ4+i2π3=32ei11π12\begin{aligned} \dfrac{z1}{z2}&=\dfrac{3}{2}\times \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}+\text{i}\frac{2\pi}{3}} \ &=\dfrac{3}{2}\,\text e^{\text i\frac{11\pi}{12}} \end{aligned}

Reprenons maintenant l’exemple vu plus haut du complexe qui n’était pas sous sa forme exponentielle.

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Exemple

Nous avons :

z=3eiπ6=3×(1)×eiπ6=3×eiπ×eiπ6 [car eiπ=1]=3ei(π+π6) [car eiθeiθ=ei(θ+θ)]=3ei7π6=3ei(5π6+2π)=3ei5π6 [car ei(θ+2kπ)=eiθ]\begin{aligned} z&= -3\text{e}^{\text{i}\frac \pi6} \ &=3\times (-1) \times \text{e}^{\text{i}\frac \pi6} \ &=3\times \text{e}^{\text{i}\pi}\times \text{e}^{\text{i}\frac \pi6} \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car eiπ=1\text{e}^{\text{i}\pi}=-1]}}} \ &=3\text{e}^{\text{i}(\pi+\frac \pi6)} \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car $\text{e}^{\text{i}\theta}\text{e}^{\text{i}\theta^{\prime}}=\text{e}^{\text{i}(\theta + \theta^{\prime})}$]}}} \ &=3\text{e}^{\text{i}\frac{7\pi}6} \ &=3\text{e}^{\text{i}(-\frac{5\pi}6+2\pi)} \ &=3\text{e}^{-\text{i}\frac{5\pi}6} \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car $\text{e}^{\text{i}(\theta+2k \pi)}=\text{e}^{\text{i} \theta}$]}}} \end{aligned}

  • zz est cette fois sous sa forme exponentielle :

z=3arg(z)=5π6[2π]\begin{aligned} \vert z\vert &=3 \ \arg{(z)} &= -\dfrac{5\pi}6\,[2\pi] \end{aligned}

Passage d’une écriture à l’autre pour un même nombre complexe

Avant de découvrir comment passer d’une écriture à une autre, rappelons les trois que nous avons découvertes.

  • Forme algébrique :

z=a+ibz=a+\text{i}b, avec aa et bb des nombres réels.

  • Cette forme permet de faire apparaître la partie réelle aa et la partie imaginaire bb du complexe zz.
  • Forme trigonométrique :

z=r(cos(θ)+isin(θ))z=r (\cos{(\theta)}+\text{i} \sin {(\theta))}, avec r=zr=\vert z\vert le module de zz (non nul), donc rr est un réel toujours positif, et θ=arg(z)\theta=\arg{(z)} un réel.

  • Cette forme permet de faire apparaître le module de zz, associé au point MM dans le plan complexe, qui est la distance OMOM, et un argument de zz, c’est-à-dire une mesure de l’angle (u,OM )(\vec{u},\,\overrightarrow{OM\ }).
  • Forme exponentielle :

z=reiθz=r \text{e}^{\text{i} \theta}, avec rr un réel non nul positif et θ=arg(z)\theta=arg{(z)} un réel.

  • La forme exponentielle reprend le module et un argument de zz, mais est très utile pour les produits et les quotients de complexes, puisque ce type d’opération est simplifié par les propriétés de l’exponentielle, comme on l’a vu dans la section précédente.

Il faut donc maîtriser le passage d’une forme à l’autre, les formes trigonométrique et exponentielle étant totalement déterminées par la connaissance du module et d’un argument.

De la forme algébrique à la forme trigonométrique ou exponentielle

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À retenir

Méthodologie :

Soit zz un nombre complexe tel que z=a+ibz=a+\text{i}b, avec aa et bb des réels.
Pour passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique ou exponentielle, il faut déterminer le module rr et un argument θ\theta.

  • Généralement, on calcule d’abord le module rr :

r=a2+b2r=\sqrt{a^2+b^2}

  • On écrit ensuite le quotient zr\frac zr :

zr=ar+bri\dfrac zr = \dfrac ar+\dfrac br \text{i}

  • On peut ainsi identifier les cosinus et sinus de θ\theta :

cos(θ)=arsin(θ)=br\begin{aligned} \cos{(\theta)}&=\dfrac{a}{r} \ \sin{(\theta)}&=\dfrac{b}{r} \end{aligned}

  • Et nous trouvons θ\theta.

Cela nécessite de bien connaître les valeurs des cosinus et des sinus des angles remarquables.

  • Connaissant le module rr et un argument θ\theta, on écrit alors la forme voulue.

Des propriétés de l’argument que nous avons vues dans le cours précédent, nous pouvons tirer quelques petites astuces.

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Astuce

  • Si zz est un nombre réel strictement positif, alors arg(z)=0[2π]\arg{(z)}=0\,[2\pi].
  • Si zz est un nombre réel strictement négatif, alors arg(z)=π[2π]\arg{(z)}=\pi\,[2\pi].
  • Si zz est un imaginaire pur dont la partie imaginaire est strictement positive, alors arg(z)=π2[2π]\arg{(z)}=\frac \pi 2\,[2\pi].
  • Si zz est un imaginaire pur dont la partie imaginaire est strictement négative, alors arg(z)=π2[2π]\arg{(z)}=-\frac \pi 2\,[2\pi].
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Exemple

Déterminons la forme trigonométrique et la forme exponentielle du complexe z=23+2iz=2\sqrt{3}+2\text{i}.

  • a=23a=2\sqrt{3} et b=2b=2.
  • Nous calculons son module :

r=(23)2+22=4×3+4=16=4\begin{aligned} r&=\sqrt{(2\sqrt{3})^2+2^2} \ &=\sqrt{4\times 3+4} \ &=\sqrt{16} \ &=4 \end{aligned}

  • Nous écrivons le quotient de zz par rr :

zr=234+24i=32+12i\begin{aligned} \dfrac zr&=\dfrac {2\sqrt{3}}4+\dfrac 24\text{i} \ &=\dfrac {\sqrt{3}}2+\dfrac12 \text{i} \end{aligned}

  • Nous identifions ainsi les cosinus et sinus de θ\theta :

cos(θ)=32sin(θ)=12\begin{aligned} \cos{(\theta)}&=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \ \sin{(\theta)}&=\dfrac{1}{2} \end{aligned}

  • On en déduit :

θ=π6[2π]\theta=\dfrac{\pi}{6}\,[2\pi]

  • Donc la forme trigonométrique de zz est :

z=4(cos(π6)+isin(π6))z=4\bigg(\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)+\text{i} \sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)\bigg)

Et la forme exponentielle de zz est :

z=4eiπ6z=4 \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}

Prenons encore un exemple, tiré du sujet du bac 2019, qui nous permettra de manipuler diverses propriétés vues dans ce cours et le précédent.

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Exemple

Soit le nombre complexe u=3+iu=\sqrt{3}+\text{i} et uˉ\bar u son conjugué.

  • L’affirmation suivante est-elle vraie ?

u2019+uˉ2019=22019u^{2\,019}+\bar u^{2\,019}=2^{2\,019}

  • Pour manipuler un nombre complexe élevé à une puissance, nous savons maintenant que la forme exponentielle est la plus adaptée.

Nous allons donc écrire uu sous sa forme exponentielle.

u=32+12=3+1=4=2\begin{aligned} \vert u\vert &=\sqrt{\sqrt{3}^2+1^2} \ &=\sqrt{3+1} \ &=\sqrt 4 \ &=2 \end{aligned}

Nous obtenons :

u=2×(32+12i)=2×(cos(π6)+sin(π6)i)=2eiπ6\begin{aligned} u&= 2\times \left(\dfrac{\sqrt{3}}2+\dfrac 12 \text{i}\right) \ &=2\times \bigg(\cos\left(\dfrac\pi 6\right)+\sin\left(\dfrac\pi 6\right) \text{i}\bigg) \ &=2\text{e}^{\text{i}\frac \pi 6} \end{aligned}

  • Élevons-le à la puissance demandée.

u2019=(2eiπ6)2019=22019×ei×2019×π6 [car (eiθ)n=einθ]\begin{aligned} u^{2\,019}&= \left(2\text{e}^{\text{i}\frac \pi 6}\right)^{2\,019} \ &=2^{2\,019} \times \text{e}^{\text{i}\times 2\,019\times \frac \pi 6} \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car ${(\text{e}^{\text{i}\theta})}^n=\text{e}^{\text{i}n\theta}$]}}} \end{aligned}

Nous allons maintenant simplifier cette expression.
Nous connaissons certaines valeurs particulières, comme $\text{e}^{\text{i}\pi}=-1$.

  • Nous allons donc la faire apparaître, en effectuant la division euclidienne de 20192\,019 par 6\purple 6, car nous avons π6\frac \pi {\purple 6} :

u2019=22019×ei(336×6+3)π6=22019×ei(336×6×π6+3×π6)=22019×ei(336π+π2)=22019×(eiπ)336×eiπ2[car ei(θ+θ)=eiθ×eiθ et einθ=(eiθ)n]=22019×(1)336×i[car eiπ=1 et eiπ2=i]=22019i\begin{aligned} u^{2\,019}&=2^{2\,019}\times \text{e}^{\text{i}(336\times 6+3)\frac \pi 6} \ &=2^{2\,019}\times \text{e}^{\text i (\frac{336\times 6\times \pi}{6}+\frac{3\times \pi}{6})} \ &=2^{2\,019}\times \text{e}^{\text i (336 \pi+\frac{\pi}{2})} \ &=2^{2\,019}\times {(\text{e}^{\text{i}\pi})}^{336}\times \text e^{\text i\frac \pi 2} \ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[car $\text{e}^{\text{i}(\theta + \theta^{\prime})}=\text{e}^{\text{i}\theta}\times \text{e}^{\text{i}\theta^{\prime}}$ et $\text{e}^{\text{i}n\theta}={(\text{e}^{\text{i}\theta})}^n$]}}} \ &=2^{2\,019}\times (-1)^{336}\times \text i \ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[car $\text e^{\text i\pi}=-1$ et $\text e^{\text i\frac\pi2}=$i]}}} \ &=2^{2\,019}\,\text i \end{aligned}

  • Calculons uˉ2019\bar u^{2\,019}.

Puisque nous connaissons u2019u^{2\,019}, nous pouvons aller plus vite :

uˉ2019=u2019[car zˉn=zn]=22019i=22019i\begin{aligned} \bar u^{2\,019}&=\overline{u^{2\,019}} \ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[car $\bar z^n=\overline{z^n}$]}}} \ &=\overline{2^{2\,019}\,\text i} \ &=-2^{2\,019}\,\text i \end{aligned}

  • Finalement, nous obtenons :

u2019+uˉ2019=22019i22019i=0\begin{aligned} u^{2\,019}+\bar u^{2\,019} &= 2^{2\,019}\,\text i - 2^{2\,019}\,\text i \ &=0 \end{aligned}

  • L’affirmation proposée est fausse.

De la forme trigonométrique ou exponentielle à la forme algébrique

Nous l’avons déjà fait sur un exemple plus haut. Nous allons ici en donner une méthodologie.

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À retenir

Méthodologie :

Pour passer de la forme trigonométrique ou exponentielle à la forme algébrique, on passe, le cas échéant, par la forme trigonométrique et on calcule les valeurs exactes des sinus et cosinus.

  • Là encore la connaissance des angles remarquables et des cosinus et sinus associés est importante.

En effet, si rr est le module de zz et θ\theta un argument de zz, alors :

Re(z)=r×cos(θ)et : Im(z)=r×sin(θ)\begin{aligned} \mathfrak {Re}(z)&=r \times \cos{(\theta)} \ \textcolor{#A9A9A9}{\text{et\ :\ }} \frak{Im}(z)&=r\times \sin{(\theta)} \end{aligned}

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Exemple

Donnons la forme algébrique du complexe z=6eiπ3z=6 \text{e}^{- \text{i} \frac{\pi}{3}}.
On a alors :

Re(z)=6cos(π3)=6×12=3et : Im(z)=6sin(π3)=6×(32)=33\begin{aligned} \mathfrak {Re}(z)&=6 \cos \left(-\dfrac{\pi}{3}\right) \ &=6\times \dfrac 12 \ &=3 \ \textcolor{#A9A9A9}{\text{et\ :\ }} \mathfrak Im(z)&=6 \sin \left(-\dfrac{\pi}{3}\right) \ &=6\times \left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) \ &=-3\sqrt{3} \end{aligned}

  • Nous obtenons donc :

z=33i3z=3-3 \text{i}\sqrt{3}

Formule de Moivre, formules d’Euler

On peut relier les écritures exponentielle et trigonométrique qui correspondent à un même nombre complexe et, en utilisant les propriétés de l’exponentielle, en déduire des relations trigonométriques appelées formules de Moivre et formules d’Euler.

Formule de Moivre

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Propriété

Pour tout nombre réel θ\theta et tout entier relatif nn, on a la relation suivante :

(eiθ)n=einθ{(\text{e}^{\text{i}\theta})}^n=\text{e}^{\text{i} n \theta}

  • On peut aussi l’écrire sous la forme suivante :

(cos(θ)+isin(θ))n=cos(nθ)+isin(nθ)\big(\cos{(\theta)} + \text{i} \sin{(\theta)}\big)^n =\cos{(n\theta)} +\text{i} \sin{(n\theta)}

Dans la première partie du cours, nous avons appris les formules de duplication. Or, ces formules de duplication ne font qu’exprimer les cosinus et sinus de 2a2a (aa réel) en fonction des cosinus et sinus de aa.
Grâce à la formule de Moivre, nous pouvons exprimer, pour tout entier naturel nn, cos(na)\cos{(na)} et sin(na)\sin{(na)} en fonction de cos(a)\cos{(a)} et sin(a)\sin{(a)}.

  • Ainsi cette formule permet-elle de déterminer les valeurs exactes des cosinus et sinus de multiples ou de fractions d’angle.
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Exemple

Nous allons ici exprimer cos(3a)\cos{(3a)} et sin(3a)\sin{(3a)} en fonction de cos(a)\cos{(a)} et sin(a)\sin{(a)}.

  • Nous savons que, pour tout aa réel, cos(3a)\cos{(3a)} est la partie réelle et sin(3a)\sin{(3a)} la partie imaginaire du nombre complexe dont la forme trigonométrique est :

cos(3a)+isin(3a)\cos{(3a)}+\text{i}\sin{(3a)}

  • D’après la formule de Moivre, nous avons :

cos(3a)+isin(3a)=(cos(a)+isin(a))3\cos{(3a)} +\text{i}\sin{(3a)}=\big(\cos{(a)}+\text{i}\sin{(a)}\big)^3

Pour développer, nous utilisons le binôme de Newton, que nous avons découvert dans le premier cours sur les nombres complexes :

cos(3a)+isin(3a)=k=03(3k)cos3k(a)iksink(a)=(30)cos3(a)+(31)cos2(a)isin(a)+(32)cos(a)i2sin2(a)+(33)i3sin3(a)=cos3(a)+3icos2(a)sin(a)3cos(a)sin2(a)isin3(a)=(cos3(a)3cos(a)sin2(a))¨C191C¨C192C+i(3cos2(a)sin(a)sin3(a))\begin{aligned} \cos{(3a)} +\text{i}\sin{(3a)} &= \sum_{k=0}^3 \binom 3k \cos^{3-k}(a)\,i^k \sin^k(a) \ &=\binom 30 \cos^3(a)+ \binom 31 \cos^2(a)\, \text{i}\sin{(a)} \ &\quad\quad\quad\quad+ \binom 32 \cos{(a)}\, \text{i}^2\sin^2(a)+ \binom 33 \text{i}^3\sin^3(a) \ &=\cos^3(a)+3\text{i}\cos^2(a)\sin{(a)} \ &\quad\quad\quad\quad -3\cos{(a)}\sin^2(a)-\text{i}\sin^3(a) \ &=\big(\cos^3(a) -3\cos{(a)}\sin^2(a)\big) \ &\quad\quad\quad\quad +\text{i}\big(3\cos^2(a)\sin{(a)}- \sin^3(a)\big) \end{aligned}

  • Nous en déduisons ainsi :

cos(3a)=cos3(a)3cos(a)sin2(a)sin(3a)=3cos2(a)sin(a)sin3(a)\begin{aligned} \cos{(3a)}&= \cos^3(a) -3\cos{(a)}\sin^2(a) \ \sin{(3a)}&= 3\cos^2(a)\sin{(a)}- \sin^3(a) \end{aligned}

Nous nous arrêtons là, mais nous pourrions aussi exprimer cos(3a)\cos{(3a)} uniquement en fonction de cos(a)\cos{(a)}, et sin(3a)\sin{(3a)} uniquement en fonction de sin(a)\sin{(a)}, car nous savons que :

sin2(a)=1cos2(a)cos2(a)=1sin2(a)\begin{aligned} \sin^2(a)&=1-\cos^2(a) \ \cos^2(a)&=1-\sin^2(a) \end{aligned}

Formules d’Euler

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Propriété

Pour tout nombre réel θ\theta, on a les relations suivantes :

cos(θ)=eiθ+eiθ2sin(θ)=eiθeiθ2i\begin{aligned} \cos{(\theta)}&=\dfrac{\text{e}^{\text{i}\theta}+\text{e}^{-\text{i}\theta}}{2} \ \sin{(\theta)}&=\dfrac{\text{e}^{\text{i}\theta}-\text{e}^{-\text{i}\theta}}{2 \text{i}} \end{aligned}

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Démonstration

Il suffit de repasser par la forme trigonométrique pour retrouver les résultats :

eiθ+eiθ=cos(θ)+isin(θ)+cos(θ)+isin(θ)=cos(θ)+isin(θ)+cos(θ)isin(θ)[car cos(θ)=cos(θ) et sin(θ)=sin(θ)]=2cos(θ)Donc : eiθ+eiθ2=cos(θ)\begin{aligned} \text{e}^{\text{i}\theta}+\text{e}^{-\text{i}\theta}&=\cos{(\theta)}+\text{i} \sin{(\theta)}+\cos{(-\theta)} + \text{i} \sin {(-\theta)} \ &=\cos{(\theta)}+\text{i} \sin{(\theta)}+\cos{(\theta)} - \text{i} \sin {(\theta)} \ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[car $\cos{(-\theta)}=\cos{(\theta)}$ et $\sin{(-\theta)}=-\sin{(\theta)}$]}}} \ &=2\cos{(\theta)} \ \ \textcolor{#A9A9A9}{\text{Donc\ :\ }} \dfrac{\text{e}^{\text{i}\theta}+\text{e}^{-\text{i}\theta}}{2} &=\cos{(\theta)} \end{aligned}

De même :

eiθeiθ=cos(θ)+isin(θ)cos(θ)isin(θ)=cos(θ)+isin(θ)cos(θ)+isin(θ)=2isin(θ)Donc : eiθeiθ2i=sin(θ)\begin{aligned} \text{e}^{\text{i}\theta}-\text{e}^{-\text{i}\theta}&=\cos{(\theta)}+\text{i} \sin{(\theta)}-\cos{(-\theta)} - \text{i} \sin {(-\theta)} \ &=\cos{(\theta)}+\text{i} \sin{(\theta)}-\cos{(\theta)} + \text{i} \sin {(\theta)} \ &=2 \text i\sin{(\theta)} \ \ \textcolor{#A9A9A9}{\text{Donc\ :\ }} \dfrac{\text{e}^{\text{i}\theta}-\text{e}^{-\text{i}\theta}}{2\text i} &=\sin{(\theta)} \end{aligned}

Les formules d’Euler peuvent, par exemple, servir à calculer des primitives.

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Exemple

Considérons la fonction f:xcos3(x)f: x\mapsto \cos^3(x) définie sur R\mathbb R.

  • Nous cherchons FF, une primitive de ff.

Mais nous ne pouvons calculer aisément une primitive de ff avec cette expression.
Nous allons donc chercher à exprimer cos3(x)\cos^3(x) en fonction d’une somme de cosinus, c’est-à-dire à linéariser cos3(x)\cos^3(x).

  • Nous savons que :

cos(x)=eix+eix2\cos{(x)}=\dfrac{\text{e}^{\text{i}x}+\text{e}^{-\text{i}x}}{2}

Donc, pour tout xx réel :

\begin{aligned} f(x)&=\left(\dfrac{\text{e}^{\text{i}x}+\text{e}^{-\text{i}x}}{2}\right)^3 \ &=\dfrac{{(\text{e}^{\text{i}x}+\text{e}^{-\text{i}x})}^3}{2^3} \ &=\dfrac{{(\text{e}^{\text{i}x})}^3+3 {(\text{e}^{\text{i}x})}^2 \text{e}^{-\text{i}x}+3\text{e}^{\text{i}x} {(\text{e}^{-\text{i}x})}^2 +{(\text{e}^{-\text{i}x})}^3}{8} \ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[avec le binôme de Newton]}}} \ &=\dfrac{\text{e}^{3\text{i}x}+3 \text{e}^{\text{i}x}+3 \text{e}^{-\text{i}x}+\text{e}^{-\text{3i}x}}{8} \ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[car ${(\text{e}^{\text{i}\theta})}^n=\text{e}^{\text{i}n\theta}$ et $\text{e}^{\text{i}\theta}\text{e}^{\text{i}\theta^{\prime}}=\text{e}^{\text{i}(\theta+\theta^{\prime})}$]}}} \ &=\dfrac{\text{e}^{3\text{i}x}+\text{e}^{-3 \text{i}x}}{8}+ \dfrac{3(\text{e}^{\text{i}x}+ \text{e}^{-\text{i}x})}{8} \ &=\dfrac{1}{4}\times \dfrac{\text{e}^{3 \text{i}x}+\text{e}^{-3 \text{i}x}}{2}+\dfrac 34\times \dfrac{\text{e}^{\text{i}x}+ \text{e}^{-\text{i}x}}{2} \ &=\dfrac{1}{4}\cos{(3x)}+\dfrac 34\cos{(x)} \end{aligned}

  • Et nous savons alors calculer une primitive de ff.

En effet, une primitive de xcos(x)x\mapsto \cos{(x)} est :

xsin(x)x\mapsto \sin{(x)}

Et une primitive de xcos(3x)=13×3cos(3x)x\mapsto\cos{(3x)}=\frac 13 \times 3\cos{(3x)} est :

x13sin(3x)x\mapsto \dfrac13 \sin{(3x)}

  • Nous en déduisons finalement que, pour tout xx réel :

F(x)=14×13sin(3x)+34sin(x)=112sin(3x)+34sin(x)\begin{aligned} F(x)&= \dfrac 14\times \dfrac 13 \sin{(3x)}+\dfrac 34\sin{(x)} \ &=\dfrac1{12}\sin{(3x)}+\dfrac 34\sin{(x)} \end{aligned}

Conclusion :

Dans ce cours, nous avons explicité les formules de duplication et d’addition, ainsi que la forme exponentielle d’un nombre complexe et son lien avec la forme trigonométrique. Les relations de passage entre les différentes formes possibles pour un nombre complexe ont été présentées, comme l’utilisation que l’on peut faire de chaque forme en fonction du type de calcul ou de l’utilisation qui est faite des nombres complexes.

Les prochains cours mettront en application les différentes formes pour résoudre des problèmes algébriques ou géométriques impliquant les nombres complexes.