Fonctions convexes

Fonctions convexes

Introduction :

Les objectifs de ce cours sont de définir la notion graphique de convexité (et de concavité), puis de donner le lien entre la convexité et la dérivée ff^{\prime} de ff, puis la dérivée seconde ff^{\prime\prime} de ff, et enfin de définir un point d’inflexion pour la courbe représentative d’une fonction.

Définitions graphiques

Fonction convexe sur un intervalle

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Définition

Fonction convexe :

Soit II un intervalle et ff une fonction définie et dérivable sur II.

Une fonction est convexe sur l’intervalle II lorsque la courbe représentative de la fonction ff est au-dessus de toutes ses tangentes sur cet intervalle.

Fonction concave sur un intervalle

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Définition

Fonction concave :

Soit II un intervalle et ff une fonction définie et dérivable sur II.

Une fonction est concave sur l’intervalle II lorsque la courbe représentative de la fonction ff est au-dessous de toutes ses tangentes sur cet intervalle.

Ces deux notions graphiques sont abstraites.
Nous allons voir une autre méthode pour démontrer la convexité ou concavité d’une fonction sur un intervalle : il s’agit d’établir le lien qui existe entre une fonction convexe ou concave sur un intervalle et la dérivée de cette fonction sur cet intervalle.

Convexité et lien avec la dérivation

Convexité et sens de variation de la dérivée

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Théorème

Soit II un intervalle et ff une fonction dérivable sur II.

  • ff est convexe sur II si et seulement si ff^{\prime} est croissante sur II.
  • ff est concave sur II si et seulement si ff^{\prime} est décroissante sur II.

Prenons un exemple simple, avec la fonction exponentielle que nous avions étudiée en première.

  • La fonction exponentielle est convexe sur R\mathbb{R}, car sa dérivée, qui est la fonction exponentielle, est strictement croissante sur R\mathbb{R}.

Graphiquement, on peut remarquer que la courbe représentative de la fonction exponentielle est au-dessus de toutes ses tangentes sur R\mathbb R, notamment de celles aux points de la courbe d’abscisse 00, 11, ou encore 22.

Alt mathématiques terminale spécialité fonctions convexes exponentielle Fonction exponentielle (convexe)

Convexité et signe de la dérivée seconde

Nous avions utilisé, dans une démonstration du cours sur les limites de fonctions, la notion de dérivée seconde. Nous allons ici la préciser.

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Définition

Dérivée seconde :

Soit II un intervalle ; ff est une fonction définie et dérivable sur II ; ff^{\prime} est sa dérivée.

Si la fonction ff^{\prime} est dérivable sur II, on note ff^{\prime\prime}ff seconde ») sa dérivée. ff^{\prime\prime} est aussi appelée dérivée seconde de la fonction ff.

Nous pouvons maintenant relier convexité et dérivée seconde.

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Théorème

Soit II un intervalle et ff une fonction dérivable deux fois sur II.

  • ff est convexe sur II si et seulement si ff^{\prime\prime} est positive sur II.
  • ff est concave sur II si et seulement si ff^{\prime\prime} est négative sur II.
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Démonstration

Montrons que si ff^{\prime\prime} est positive sur un intervalle, alors la courbe représentative de ff est au-dessus de ses tangentes (c’est-à-dire convexe) sur cet intervalle.

  • Soit ff une fonction deux fois dérivable sur I=[a ;b]I = [a\ ;\,b] (aa et b Rb\ \in \mathbb R) et x0Ix_0 \in I.

Une équation de la tangente à la courbe représentative de ff au point d’abscisse x0x_0 est :

y=f(x0)(xx0)+f(x0)y = f^{\prime}(x0) (x- x0) + f(x_0)

  • Soit ϕ\phi la fonction définie sur II par :

ϕ(x)=f(x)(f(x0)(xx0)+f(x0))=f(x)f(x0)x+f(x0)x0f(x0)\begin{aligned} \phi(x) &= f(x) - \big(f^{\prime}(x0) (x- x0) + f(x0)\big) \ &= f(x) - f^{\prime}(x0)x + f^{\prime}(x0) x0 - f(x_0) \end{aligned}

  • Étudions le signe de ϕ(x)\phi(x) sur II : il va donner la position de la courbe par rapport à la tangente au point d’abscisse x0x_0.

Pour tout xIx\in I, la fonction ϕ\phi est dérivable sur II en tant que somme de fonctions dérivables sur II.

  • Pour tout xIx\in I :

ϕ(x)=f(x)f(x0) [car f(x0),f(x0) et x0 sont des constantes]\begin{aligned} \phi^{\prime} (x) &= f^{\prime} (x) - f^{\prime} (x0) \ &\footnotesize{\textcolor{#808080}{\text{ [car }f^{\prime}(x0), f(x0) \text{ et }x0\text{ sont des constantes]}}} \end{aligned}

f0f^{\prime\prime}\geq 0 sur II, donc ff^{\prime} est croissante sur II et :

  • pour tout x[a ;x0]x\in [a\ ;\,x0], f(x)f(x0)=ϕ(x)0f^{\prime} (x) - f^{\prime} (x0) = \phi^{\prime} (x) \leq 0 ;
  • pour tout x[x0 ;b]x\in [x0\ ;\,b], f(x)f(x0)=ϕ(x)0f^{\prime}(x) - f^{\prime}(x0) = \phi^{\prime} (x) \geq 0 ;
  • on a ϕ(x0)=f(x0)f(x0)=0\phi^{\prime} (x0) = f^{\prime} (x0) - f^\prime(x_0) = 0.
  • La fonction ϕ\phi est donc décroissante sur l’intervalle [a ;x0][a\ ;\,x0] et croissante sur l’intervalle [x0 ;b][x0\ ;\,b].

De plus :

ϕ(x0)=f(x0)(f(x0)(x0x0)+f(x0))=f(x0)f(x0)=0\begin{aligned} \phi(x0) &= f(x0) - \big(f^{\prime} (x0)(x0 - x0) + f(x0)\big) \ &= f(x0) - f(x0) \ &= 0 \end{aligned}

  • La fonction ϕ\phi atteint un minimum sur l’intervalle II en x0x_0 et ce minimum est 00.
  • Pour tout xIx\in I, ϕ(x)0\phi(x) \geq 0, c’est-à-dire :

f(x)(f(x0)(xx0)+f(x0))0f(x) - \big(f^{\prime} (x0)(x - x0) + f(x_0)\big) \geq0

Ce qui est équivalent à :

f(x)f(x0)(xx0)+f(x0)f(x) \geq f^{\prime} (x0)(x - x0) + f(x_0)

  • La courbe représentative de ff est au-dessus de sa tangente au point d’abscisse x0x_0.

Ceci étant vrai pour toutes les valeurs x0Ix_0 \in I, la courbe représentative de ff est au-dessus de toutes ses tangentes sur II.

  • La fonction ff est convexe sur II.

Remarque : La démonstration reste vraie si, au lieu de aa et bb, on a -\infty et ++\infty ou tout intervalle ouvert ou semi-ouvert.

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Exemple

On note ff la fonction logarithme népérien qui est définie sur l’intervalle ]0 ;+[]0\ ;\,+\infty[.

  • Nous découvrirons cette fonction de manière détaillée dans des prochains cours.
  • Sa dérivée est la fonction définie sur ]0 ;+[]0\ ;\,+\infty[ par :

f(x)=1xf^{\prime} (x) = \dfrac{1}{x}

  • Sa dérivée seconde est la fonction définie sur ]0 ;+[]0\ ;\,+\infty[ par :

f(x)=1x2f^{\prime\prime} (x) = -\dfrac{1}{x^2}

  • Pour tout x]0 ;+[x\in ]0\ ;\,+\infty[ :

f(x)=1x2<0f^{\prime\prime} (x) = -\dfrac{1}{x^2} < 0

  • La fonction logarithme népérien est concave sur l’intervalle ]0 ;+[]0\ ;\,+\infty[.

Graphiquement, on peut remarquer que la courbe représentative de la fonction logarithme est au-dessous de toutes ses tangentes sur l’intervalle ]0 ;+[]0\ ;\,+\infty[, notamment de celle aux points de la courbe d’abscisses 11 et e\text e.

Alt mathématiques terminale spécialité fonctions convexes logarithme népérien Fonction logrithme népérien (concave)

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Exemple

Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=(2x)exf(x) = (2 - x) \text{e}^x.

  • ff est dérivable sur R\mathbb{R} et, pour tout xRx\in \mathbb{R} :

f(x)=ex+(2x)ex=(1x)ex\begin{aligned} f^{\prime} (x) &= -\text{e}^x + (2-x) \text{e}^x \ &= (1-x) \text{e}^x \end{aligned}

  • ff^{\prime} est dérivable sur R\mathbb{R} et, pour tout xRx\in \mathbb{R} :

f(x)=ex+(1x)ex=xex\begin{aligned} f^{\prime\prime} (x) &= -\text{e}^x + (1-x) \text{e}^x \ & = -x \text{e}^x \end{aligned}

  • La fonction exponentielle est strictement positive sur R\mathbb R, donc :
  • f(x)=xex0f^{\prime\prime} (x) = -x \text{e}^x \geq 0 pour tout xRx\in \mathbb{R}^-.
  • La fonction ff est convexe sur R\mathbb R^-.
  • f(x)=xex0f^{\prime\prime} (x) = -x \text{e}^x \leq 0 pour tout xR+x\in \mathbb{R}^+.
  • La fonction ff est concave sur R+\mathbb{R}^+.

Nous allons voir dans la partie suivante que ce point d’abscisse 00 est un point particulier.

Point d’inflexion

Dans le dernier exemple, nous avons vu que la fonction f(x)=(2x)exf(x) = (2 - x) \text{e}^x était convexe sur R\mathbb R^- et concave sur R+\mathbb R^+.

  • Le point d’abscisse 00 est appelé point d’inflexion pour la courbe représentative de ff. Définissons cette notion.

Définition

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Définition

Point d’inflexion :

Soit II un intervalle et ff une fonction définie et dérivable sur II, de représentation graphique Cf\mathscr Cf.
Soit un point ACfA\in \mathscr C
f .

Le point AA est un point d’inflexion pour la courbe Cf\mathscr Cf lorsque la courbe Cf\mathscr Cf traverse sa tangente en AA.

  • En l’abscisse du point AA, la fonction ff passe de concave à convexe, ou l’inverse.
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Attention

Un point est « point d’inflexion » pour la courbe représentative d’une fonction, et non pas pour la fonction elle-même.

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Exemple

Prenons un autre exemple.

On a représenté ci-dessous la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=2x3+1f(x) = 2x^3 + 1.
La courbe représentative de ff traverse sa tangente au point d’abscisse 00, qui a pour équation y=1y = 1.

  • Le point A(0 ;1)A\,(0\ ;\,1) de la courbe représentative de ff est donc un point d’inflexion pour Cf\mathscr C_f.

Alt mathématiques terminale spécialité fonctions convexes

Point d’inflexion et dérivée seconde

Toujours dans l’exemple de la partie 2 que nous évoquions, nous avons vu que la dérivée seconde s’annulait et changeait de signe au point d’abscisse 00.

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Théorème

Soit II un intervalle et ff une fonction définie et deux fois dérivable sur II, de représentation graphique Cf\mathscr Cf.
Soit un point ACfA\in \mathscr C
f .

AA est un point d’inflexion pour Cf\mathscr Cf si et seulement si ff^{\prime\prime} s’annule en changeant de signe en xAxA.

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Exemple

Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=2x3+1f(x) = 2x^3 + 1, de courbe représentative Cf\mathscr C_f.

  • ff est dérivable sur R\mathbb{R} et, pour tout xRx\in \mathbb{R} :

f(x)=6x2f^{\prime} (x) = 6x^2

  • ff^{\prime\prime} est dérivable sur R\mathbb{R} et, pour tout xRx\in \mathbb{R} :

f(x)=12xf^{\prime\prime}(x) = 12x

f(x)>012x>0x>0f(x)<012x<0x<0f(0)=12×0=0\begin{aligned} f^{\prime\prime}(x) > 0 &\Leftrightarrow 12x > 0 \ &\Leftrightarrow x > 0 \ \ f^{\prime\prime}(x) < 0 &\Leftrightarrow 12x < 0 \ &\Leftrightarrow x < 0 \ \ f^{\prime\prime}(0) &= 12\times 0 \ &= 0 \end{aligned}

  • ff^{\prime\prime} s’annule en changeant de signe en x=0x = 0.
  • Le point de Cf\mathscr C_f d’abscisse 00 est un point d’inflexion pour la courbe représentative de ff.

Conclusion :

Dans ce cours, nous avons découvert les notions de dérivée seconde d’une fonction, de convexité et de concavité sur un intervalle, ainsi que de point d’inflexion pour la courbe représentative d’une fonction.
Grâce à elles, nous pouvons encore approfondir l’étude des fonctions.