Fonction logarithme népérien (ln)

Fonction logarithme népérien (ln)

Introduction :

Dans ce cours, nous allons définir une nouvelle fonction : le logarithme népérien.
Après l’avoir définie à partir de la fonction exponentielle vue en première, nous étudierons ses propriétés algébriques et nous résoudrons des équations et inéquations.
Enfin, nous l’étudierons en tant que fonction en voyant notamment ses propriétés graphiques.

Définition du logarithme népérien

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Définition

Fonction logarithme népérien :

Pour tout réel a>0a>0, l’équation ex=a\text{e}^x=a admet une unique solution dans R\mathbb{R}, appelée logarithme népérien de aa et notée ln(a)\ln{(a)} ou lna\ln{a}.

  • On définit ainsi sur ]0 ;+[]0\ ;\,+\infty[ la fonction logarithme népérien, notée ln\ln, qui, à tout x>0x>0, associe le réel ln(x)\ln{(x)}. C’est-à-dire :

ln: ]0 ;+[Rxln(x)\begin{aligned} \ln:\ ]0\ ;\,+\infty[ &\to \mathbb R \ x&\mapsto \ln{(x)} \end{aligned}

La fonction logarithme népérien et la fonction exponentielle sont des fonctions réciproques l’une de l’autre.

  • On en déduit les propriétés suivantes.
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Propriété

Si aa est un réel strictement positif et si bb est un réel, alors :

eb=ab=ln(a)\text{e}^b=a \Leftrightarrow b=\ln{(a)}

  • Pour tout réel strictement positif aa : eln(a)=a\text{e}^{\ln{(a)}}=a.
  • Pour tout réel bb : ln(eb)=b\ln{\left(\text{e}^b\right)}=b.

Nous pouvons aussi donner deux valeurs remarquables :

  • ln(1)=0\ln{(1)}=0, car e0=1\text{e}^0=1 ;
  • ln(e)=1\ln{(\text{e})}=1, car e1=e\text{e}^1=\text{e}.

Dans un repère orthonormé, les courbes de la fonction exponentielle et de la fonction logarithme népérien sont symétriques par rapport à la droite d’équation y=xy=x.

Alt Terminale option mathématiques complémentaire fonction logarithme népérien exponentielle Légende

Cette symétrie existe pour toutes les fonctions réciproques l’une de l’autre, comme les fonctions carré et racine carrée sur [0 ;+[[0\ ;\,+\infty[.

Propriétés algébriques du logarithme népérien

Dans cette partie, nous verrons que, comme la fonction exponentielle, la fonction logarithme népérien vérifie certaines propriétés algébriques.

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Propriété

Pour tous nombres réels a>0a > 0 et b>0b > 0 et pour tout nombre entier relatif nn :

  • ln(ab)=ln(a)+ln(b)\ln{(ab)}=\ln{(a)}+\ln{(b)} ;
  • ln(1a)=ln(a)\ln{\left(\dfrac{1}{a}\right)}=-\ln{(a)} ;
  • ln(ab)=ln(a)ln(b)\ln{\left(\dfrac{a}{b}\right)}=\ln{(a)}-\ln{(b)} ;
  • ln(a)=12ln(a)\ln{\left(\sqrt{a}\right)}=\dfrac{1}{2}\ln{(a)} ;
  • ln(an)=n ln(a)\ln{\left(a^n\right)}=n\ \ln{(a)}.

Remarquons que l’on peut généraliser la première propriété à un nombre fini nn de réels strictement positifs a1,a2,,ana1,\,a2,\,…,\,a_n. On obtient alors :

ln(a1a2an)=ln(a1)+ln(a2)++ln(an)\ln{(a1\,a2\,…\,an)}=\ln{(a1)}+\ln{(a2)}+…+\ln{(an)}

  • On dit que la fonction logarithme népérien transforme un produit en somme.
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Attention

ln(a+b)ln(a)+ln(b)\ln{(a+b)}\neq \ln{(a)}+\ln{(b)}.

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Démonstration

  • Montrons que, pour tous nombres réels a>0a > 0 et b>0b > 0, ln(ab)=ln(a)+ln(b)\ln{(ab)}=\ln{(a)}+\ln{(b)}.

Soit a>0a > 0 et b>0b > 0 deux nombres réels.
Par définition, il existe deux réels xx et yy tels que a=exa = \text{e}^x et b=eyb = \text{e}^y. On a donc :

ln(a×b)=ln(ex×ey)\ln{(a\times b)} = \ln{(\text{e}^x \times \text{e}^y)}

Pour tout réel xx et yy, on a :

ex+y=ex×ey\text{e}^{x + y} = \text{e}^x \times \text{e}^y

On en déduit donc, les fonctions exponentielle et logarithme népérien étant des fonctions réciproques :

ln(a×b)=ln(ex+y)=x+y\begin{aligned} \ln{(a\times b)} &= \ln{(\text{e}^{x + y})} \ &= x + y \end{aligned}

Par définition, on a x=ln(a)x = \ln(a) et y=ln(b)y =\ln(b).

  • Finalement, on a bien ln(a×b)=ln(a)+ln(b)\ln(a\times b) = \ln(a) + \ln(b), pour tous réels a>0a > 0 et b>0b > 0.
  • Montrons que, pour tout nombre réel a>0a > 0, ln(1a)=ln(a)\ln\left(\frac{1}{a}\right) = -\ln{(a)}.

Soit a>0a > 0 un nombre réel.
Dans l’égalité précédente, prenons b=1a>0b = \frac{1}{a} > 0.

On a donc :

ln(a×1a)=ln(a)+ln(1a)Or : ln(a×1a)=ln(1)=0Donc : ln(a)+ln(1a)=0\begin{aligned} \ln\left(a\times \dfrac{1}{a}\right) &= \ln{(a)} + \ln\left(\dfrac{1}{a}\right) \ \textcolor{#A9A9A9}{\text{Or\ :\ }} \ln\left(a\times \dfrac{1}{a}\right) &= \ln(1) = 0 \ \textcolor{#A9A9A9}{\text{Donc\ :\ }}\ln{(a)} + \ln\left(\dfrac{1}{a}\right) &= 0 \end{aligned}

  • On en déduit que : ln(1a)=ln(a)\ln\left(\frac{1}{a}\right) = -\ln(a), pour tout nombre réel a>0a > 0.
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Exemple

Appliquons ces propriétés sur quelques expressions à simplifier.

  • ln(32)\ln{(32)}

ln(32)=ln(25)=5ln(2)\begin{aligned} \ln{(32)}&=\ln{\left(2^5\right)} \ &=5\ln{(2)} \end{aligned}

  • ln(11024)\ln{\left(\dfrac{1}{1\,024}\right)}

ln(11024)=ln(1210)=ln(210)=10 ln(2)\begin{aligned} \ln{\left(\dfrac{1}{1\,024}\right)}&=\ln{\left(\dfrac{1}{2^{10}}\right)} \ &=\ln{\left(2^{-10}\right)} \ &=-10\ \ln{(2)} \end{aligned}

  • ln(82)\ln{\left(8\sqrt{2}\right)}

ln(82)=ln(23×2)=ln(23×212)=ln(272)=72ln(2)\begin{aligned} \ln{\left(8\sqrt{2}\right)}&=\ln{\left(2^3\times \sqrt{2}\right)} \ &=\ln{\left(2^3\times 2^\frac{1}{2}\right)} \ &=\ln{\left(2^{\frac{7}{2}}\right)} \ &=\dfrac{7}{2} \ln{(2)} \end{aligned}

Résolutions d’équations et inéquations avec le logarithme népérien

En utilisant les propriétés de cette fonction, nous allons pouvoir résoudre des équations et inéquations contenant des logarithmes népériens.

  • Pour cela, nous allons nous appuyer sur des exemples, qui nous montreront les démarches à adopter.

Commençons par donner deux autres propriétés de la fonction ln\ln, qui, comme nous le verrons dans le prochain cours, est strictement croissante sur ]0 ;+[]0\ ;\,+\infty[.

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Propriété

Pour tous nombres réels a>0a > 0 et b>0b > 0 :

  • a=bln(a)=ln(b)a=b \Leftrightarrow \ln{(a)}=\ln{(b)} ;
  • a<bln(a)<ln(b)a;
  • a>bln(a)>ln(b)a>b \Leftrightarrow \ln{(a)}>\ln{(b)};

Nous en déduisons que, pour tout réel x>0x>0 :

ln(x)>0ln(x)>ln(1)x>1ln(x)<0ln(x)<ln(1)x<10<x<1\begin{aligned} \ln{(x)}>0&\Leftrightarrow \ln{(x)}>\ln{(1)} \ &\Leftrightarrow x>1 \ \ \ln{(x)}<0&\Leftrightarrow \ln{(x)}<\ln{(1)} \ &\Leftrightarrow x<1 \\ &\Leftrightarrow 0

Résolution d’équations du type ln(u(x))=ln(v(x))\ln\big(u(x)\big)= \ln\big(v(x)\big)

Il est important d’être méthodique dans la résolution de telles équations, car, si nous savons résoudre facilement des équations, nous devons éviter les pièges, notamment celui du domaine de définition de la fonction logarithme népérien.

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À retenir

Pour résoudre une équation du type ln(u(x))=ln(v(x))\ln\big(u(x)\big) = \ln\big(v(x)\big), il faut respecter les étapes suivantes :

  • rechercher l’ensemble EE des réels tels que u(x)>0u(x) > 0 et v(x)>0v(x) > 0 ;
  • résoudre l’équation u(x)=v(x)u(x) = v(x) ;
  • prendre les solutions qui sont dans EE et rejeter les autres.
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Astuce

Il peut arriver que l’ensemble EE soit l’ensemble vide, c’est-à-dire que u(x)>0u(x)>0 et v(x)>0v(x)>0 soient incompatibles.

  • Dans ce cas, nous pouvons conclure immédiatement que l’ensemble solution sera l’ensemble vide.

Appliquons maintenant la méthodologie donnée sur un exemple.

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Exemple

Résolvons : ln(2x)=ln(x+3)\ln{(2x)}=\ln{(x+3)}.

  • Recherche de l’ensemble de définition
  • ln(x)\ln{(x)} est défini uniquement pour x>0x > 0.

Il faut donc :

{2x>0x+3>0{x>0x>3x>0\begin{aligned} \begin{cases} 2x > 0 \ x+3>0 \end{cases} &\Leftrightarrow \begin{cases} x > 0 \ x>-3 \end{cases} \ &\Leftrightarrow x>0 \end{aligned}

  • L’ensemble de définition est donc ]0 ;+[]0\ ;\,+\infty[.
  • Résolution de l’équation

ln(2x)=ln(x+3)2x=x+3 [car a=bln(a)=ln(b)]x=3\begin{aligned} \ln{(2x)}= \ln{(x+3)} &\Leftrightarrow 2x=x+3 \ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car }a=b \Leftrightarrow \ln{(a)}=\ln{(b)}]}} \ &\Leftrightarrow x=3 \end{aligned}

  • Vérification

Nous vérifions que la solution trouvée appartient bien à l’ensemble de définition. Nous avons bien 3>03 > 0.

  • S={3}S=\lbrace 3 \rbrace.

Résolution d’inéquations du type : ln(u(x))ln(v(x))\ln\big(u(x)\big)\geq \ln\big(v(x)\big)

Comme pour la résolution d’équations, donnons la méthode pour résoudre de telles inéquations.

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À retenir

Pour résoudre une équation du type ln(u(x))ln(v(x))\ln\big(u(x)\big) \geq \ln\big(v(x)\big), il faut respecter les étapes suivantes :

  • rechercher l’ensemble EE des réels tels que u(x)>0u(x) > 0 et v(x)>0v(x) > 0 ;
  • résoudre l’équation u(x)v(x)u(x) \geq v(x) ;
  • ne garder que les solutions qui sont dans EE.

Appliquons la méthode sur un exemple.

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Exemple

Résolvons : ln(2x)ln(x+3)\ln{(2x)}\geq \ln{(x+3)}.

  • Recherche de l’ensemble de définition
  • L’ensemble de définition ne change évidemment pas, par rapport à l’exemple précédent : ]0\ ; +\infty[.
  • Résolution de l’inéquation :

ln(2x)ln(x+3)2xx+3 [car ln est strictement croissante sur R+]x3\begin{aligned} \ln{(2x)}\geq \ln{(x+3)} &\Leftrightarrow 2x\geq x+3 \ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car }\ln \text{ est strictement croissante sur }\mathbb R^{*+}]}}\ &\Leftrightarrow x\geq 3 \end{aligned}

  • Vérification

On vérifie encore que la solution est incluse dans l’ensemble de définition. C’est bien le cas.

  • S=[3 ;+[S=[3\ ; +\infty[.

Résolution d’inéquations plus complexes

Maintenant, résolvons deux inéquations plus complexes, où nous allons faire appel aux propriétés algébriques du logarithme népérien.

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Exemple

Résolvons dans N\mathbb N l’inéquation :

(12)n0,10\left(\dfrac 12\right)^n\leq 0,10

(12)n0,10ln((12)n)ln(0,10)[car (12)n>0 et 0,10>0,et ln est strictement croissante]nln(12)ln(0,10)[car ln(an)=nln(a)]nln(0,10)ln(12)3,32[car ln(12)<0]n3,32\begin{aligned} \left(\dfrac 12\right)^n\leq 0,10 &\Leftrightarrow \ln\Bigg(\left(\dfrac 12\right)^n\Bigg)\leq \ln{(0,10)} \ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[car $\left(\frac 12\right)^n>0$ et $0,10>0$,}}} \ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{et ln\ln est strictement croissante]}}} \ &\Leftrightarrow n \ln\left(\dfrac12\right)\leq\ln{(0,10)} \ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[car $\ln\left(a^n\right) = n\ln{(a)}$]}}} \ &\Leftrightarrow n\geq\dfrac{\ln{(0,10)}}{\ln\left(\frac12\right)} \approx 3,32 \ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[car $\ln\left(\frac 12\right) < 0$]}}} \ &\Leftrightarrow n\geq3,32 \end{aligned}

  • L’ensemble solution est constitué de tous les entiers supérieurs ou égaux à 44.

Reprenons l’exemple du cours sur les suites numériques, où un apiculteur souhaitait étendre son activité de production de miel à une nouvelle région.

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Exemple

L’évolution du nombre de colonies dans cette région était définie par une suite (Cn)(Cn), où le terme CnCn donnait une estimation du nombre de colonies pendant l’année 2020+n2020 + n.

  • Le nombre de colonies en 2020 était C0=300C_0 = 300.
  • Nous avons montré que, pour tout entier naturel nn :

Cn=625325×0,92nC_n = 625 - 325\times 0,92^n

Nous souhaitons maintenant savoir en quelle année l’apiculteur peut espérer doubler son nombre initial de colonies.

  • Il s’agit donc de résoudre l’équation d’inconnue entière nn :

Cn2×C0=600Cn \geq 2\times C0 = 600

Cn600625325×0,92n600625600325×0,92n25325×0,92n253250,92n1130,92nln(113)ln(0,92n)[car ln et exp sont strictement croissantes]ln(113)nln(0,92)[car ln(an)=nln(a)]ln(113)ln(0,92)n[car ln(0,92)<ln(1)=0]nln(13)ln(0,92)[car ln(113)=ln(13)]\begin{aligned} C_n \geq 600 &\Leftrightarrow 625 - 325\times 0,92^n \geq 600 \ &\Leftrightarrow 625 - 600 \geq 325\times 0,92^n \ &\Leftrightarrow 25 \geq 325\times 0,92^n \ &\Leftrightarrow \dfrac{25}{325} \geq 0,92^n \ &\Leftrightarrow \dfrac{1}{13} \geq 0,92^n \ &\Leftrightarrow \ln\left(\dfrac{1}{13}\right) \geq \ln{(0,92^n)} \ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[car $\ln$ et $\exp$ sont strictement croissantes]}}} \ &\Leftrightarrow \ln\left(\dfrac{1}{13}\right) \geq n \ln{(0,92)} \ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[car $\ln(a^n) = n\ln(a)$]}}} \ & \Leftrightarrow \dfrac{\ln\left(\frac{1}{13}\right)}{\ln{(0,92)}} \leq n \ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[car $\ln{(0,92)} < \ln{(1)} = 0$]}}} \ &\Leftrightarrow n \geq \dfrac{-\ln{(13)}}{\ln{(0,92)}} \ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[car $\ln\left(\frac{1}{13}\right) = -\ln(13)$]}}} \end{aligned}

Nous avons, au centième près :

ln(13)ln(0,92)30,76\dfrac{-\ln{(13)}}{\ln{(0,92)}} \approx 30,76

Donc la plus petite valeur nn recherchée est n=31n = 31.

  • L’apiculteur doublera donc son nombre initial de colonies d’abeilles en 2020+31=20512020 + 31 = 2051.

Étude de la fonction xln(x)x \mapsto \ln{(x)}

Nous allons maintenant effectuer une étude complète de la fonction logarithme népérien.

Continuité, dérivabilité et sens de dérivation

Pour toute fonction, il est indispensable de connaître ses domaines de définition et de dérivabilité.

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Propriété

La fonction xln(x)x \mapsto \ln{(x)} est définie, continue, dérivable et strictement croissante sur ]0 ;+[] 0\ ;+\infty[.

  • Sa dérivée est la fonction xln(x)=1xx\mapsto \ln^{\prime} {(x)} = \dfrac{1}{x}.

Alt Terminale option mathématiques complémentaire fonction logarithme népérien

Nous remarquons que, pour tout x]0 ;+[x\in ]0\ ;\,+\infty[, 1x>0\frac 1x>0, et donc que ln(x)>0\ln^{\prime} {(x)}>0.

  • La fonction $\ln$ est effectivement strictement croissante sur ]0 ;+[]0\ ;\,+\infty[.

Limites

Maintenant que nous connaissons les variations de la fonction logarithme népérien, nous allons nous intéresser aux limites aux bornes de l’ensemble de définition de cette fonction.

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Propriété

limx0x>0ln(x)=limx+ln(x)=+\begin{aligned} \lim\limits{x \to 0 \atop x>0} \ln{(x)} &=-\infty \ \lim\limits{x \to +\infty} \ln{(x)} &=+\infty \end{aligned}

Dérivée d’une fonction composée ln(u)\ln{(u)}, avec uu dérivable

Dans cette partie, on appelle uu une fonction définie, dérivable et strictement positive sur un intervalle II.

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À retenir

ln(u)\ln{(u)} n’est définie que lorsque uu est strictement positive.

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Exemple

La fonction xln(2x+6)x\mapsto \ln{(2x+6)} n’est définie que lorsque 2x+6>02x+6 > 0 , c’est-à-dire lorsque x>3x > -3.

  • Le domaine de définition est donc : I=]3 ;+[I=] -3\ ;\,+\infty[.
bannière propriete

Propriété

La fonction ln(u)\ln{(u)} est dérivable sur II et sa dérivée est :

(ln(u))=uu\big(\ln{(u)}\big)^{\prime} =\dfrac{u^{\prime}}{u}

Nous reverrons cette formule dans le cours suivant sur les compléments de la dérivation, vue en première.

Conclusion :

Dans ce cours, nous avons découvert une nouvelle fonction, le logarithme népérien. Nous avons vu ses propriétés algébriques, qui nous ont permis de résoudre des équations et des inéquations. Nous avons ensuite vu ses propriétés graphiques en l’étudiant.