Continuité de fonctions

Continuité de fonctions

Introduction :

Ce cours va nous permettre de compléter encore l’étude de fonctions.
Nous aborderons ainsi le langage de la continuité avec quelques rappels, des définitions, des propriétés, des théorèmes, des méthodes et des exemples d’applications.

Continuité

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Définition

Continuité d’une fonction sur un intervalle :

ff est une fonction définie sur un intervalle II et aa est un nombre réel de II.

  • ff est continue en aa si et seulement si ff a une limite finie en aa et si cette limite est égale à f(a)f(a) (réel). C’est-à-dire que :

limxaf(x)=f(a)\lim\limits_{x \to a}f(x)= f(a)

  • ff est continue sur II si et seulement si ff est continue en tout nombre réel de II.

Regardons les courbes représentatives de deux fonctions.

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  • La fonction ff est continue en aa.
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Astuce

On peut tracer la courbe représentative de la fonction sans lever le crayon.

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  • La fonction gg n’est pas continue sur [2 ;3][-2\ ;\,3] car elle n’est pas continue en 11. En effet :

g(1)=1limx1x>1g(x)=1g(1)=1 \neq \lim\limits_{x \to 1 \atop x>1} g(x) =-1

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Astuce

On ne peut pas tracer la courbe de cette fonction sans lever le crayon.

Donnons quelques propriétés de la continuité de fonction.

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Propriété

  • Les fonctions dérivables sur un intervalle II sont continues sur cet intervalle.
  • Si uu et vv sont deux fonctions continues sur II, alors u+vu+v et u×vu\times v sont continues sur II.
  • Si uu et vv sont deux fonctions continues sur II et si de plus vv est non nulle sur II, alors uv\frac{u}{v} est continue sur II.
  • En particulier, la fonction 1v\frac 1v est continue sur II.

Continuité des fonctions usuelles

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Propriété

Les fonctions affines, polynômes, inverse, racine carrée, exponentielle, sont continues sur tout intervalle de leur ensemble de définition.

C’est-à-dire :

  • les fonctions affines sont continues sur R\mathbb{R} ;
  • les fonctions polynômes sont continues sur R\mathbb{R} ;
  • la fonction inverse est continue sur ] ;0[] - \infty\ ;\,0[ et sur ]0 ;+[ ]0\ ;\,+\infty[ ;
  • la fonction racine carrée est continue sur [0 ;+[[0\ ;\,+\infty[ ;
  • la fonction exponentielle est continue sur R\mathbb {R}.
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Exemple

Étudions la continuité de la fonction définie par f(x)=(3x22x+1)exf(x) =(3x^2-2x+1)\text{e}^x sur R\mathbb{R}.

La fonction x3x22x+1x\mapsto 3x^2-2x+1 est continue sur R\mathbb {R} (fonction polynôme) et la fonction xexx \mapsto \text{e}^x est continue sur R\mathbb {R}.

  • Or, ff est le produit de ces deux fonctions, donc on peut affirmer que ff est continue sur R\mathbb {R}.

Théorème des valeurs intermédiaires

Nous savons maintenant ce qu’est une fonction continue sur un intervalle.
Dans cette partie, nous allons voir un théorème valable seulement pour une fonction ff continue sur un intervalle.

  • Cela nous permettra de déterminer l’existence (et éventuellement l’unicité) de solutions de l’équation f(x)=kf(x) = k (kk réel) sur cet intervalle.

Théorème concernant les fonctions continues

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Théorème

Théorème des valeurs intermédiaires :

Si une fonction ff est définie et continue sur un intervalle [a ;b][a\ ;\,b] (a<ba < b), alors, pour tout réel kk compris entre f(a)f(a) et f(b)f(b), il existe au moins un réel cc compris entre aa et bb tel que f(c)=kf(c)=k.

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À retenir

Le théorème des valeurs intermédiaires est un théorème d’existence : il affirme l’existence d’au moins une solution pour l’équation f(x)=kf(x)=k.

Corollaire pour les fonctions continues et strictement monotones

  • Un corollaire est un théorème, ou une proposition, qui est une conséquence directe d’un ou d’une autre.
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Théorème

Corollaire :

Si une fonction ff est définie, continue et strictement monotone sur un intervalle [a ;b][a\ ;\,b] (a<ba < b), alors, pour tout réel kk compris entre f(a)f(a) et f(b)f(b), l’équation f(x)=kf(x)=k a une unique solution dans l’intervalle [a ;b][a\ ;\,b].

Illustrons ce corollaire pour mieux nous le représenter, avec les courbes représentatives et les tableaux de variations de deux fonctions ff et gg.

Alt Terminale option mathématiques complémentaires continuité fonction corollaire du théorème des valeurs intermédiaires

  • La fonction ff est continue et strictement croissante sur un intervalle [a ;b][a\ ;\,b].
  • Le réel cc est l’unique solution de l’équation f(x)=kf(x)=k dans l’intervalle [a ;b][a\ ;\,b].
  • La fonction gg est continue et strictement décroissante sur un intervalle [a ;b][a\ ;\,b].
  • Le réel cc est l’unique solution de l’équation g(x)=kg(x)=k dans l’intervalle [a ;b][a\ ;\,b].
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À retenir

Ce corollaire est un théorème d’unicité : il affirme l’existence d’une unique solution pour l’équation f(x)=kf(x) = k, que, souvent, l’on ne peut résoudre facilement par le calcul.

  • On peut, dans ce cas, essayer de donner une valeur approchée de cette solution.

Un exemple

Nous allons maintenant illustrer ce corollaire par un exemple, qui nous permettra de mieux en comprendre les applications.

Soit la fonction ff définie sur R\mathbb {R} par f(x)=2x33x21f(x) = 2x^3-3x^2-1.

  • Démontrons que l’équation f(x)=0f(x)=0 admet une unique solution aa dans R\mathbb {R}.
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Astuce

L’expression « unique solution » doit immédiatement faire penser au corollaire du théorème des valeurs intermédiaires.

  • Commençons par étudier les variations de la fonction ff, afin de voir si elle est strictement monotone.
  • Calculons la dérivée de ff.

ff est dérivable sur R\mathbb{R} et, pour tout xx réel, on a :

f(x)=2×3x23×2x=6x26x=6x(x1)\begin{aligned} f^{\prime} (x)&=2\times 3x^2-3\times 2x \ &=6x^2-6x \ &=6x(x-1) \end{aligned}

  • Nous cherchons maintenant à construire les tableaux de signes et de variations.

Pour cela, il faut d’abord savoir pour quelle(s) valeur(s) de xx la dérivée s’annule :

f(x)=0{6x=0oux1=0{x=0oux=1\begin{aligned} f^\prime(x) = 0 &\Leftrightarrow \begin{cases}6x=0 \ \footnotesize{\textcolor{#808080}{\text{ou}}} \ x-1=0 \end{cases} \ &\Leftrightarrow \begin{cases}x=0 \ \footnotesize{\textcolor{#808080}{\text{ou}}} \ x=1 \end{cases} \end{aligned}

Calculons les extremums et les limites en l’infini.

f(0)=2×033×021=1f(1)=2×133×121=2limxf(x)=limxx3(23x1x3) [en factorisant par x3 que nous consideˊrons non nul]= [car limxx3= et limx23x1x3=2]limx+f(x)=limx+x3(23x1x3)=+\begin{aligned} f(0)&=2\times 0^3-3\times 0^2-1 \ &=\boxed{-1} \ \ f(1)&=2\times 1^3-3\times 1^2-1 \ &=\boxed{-2} \ \ \lim\limits{x \to -\infty}f(x)&= \lim\limits{x \to -\infty}x^3\left(2-\dfrac{3}{x}-\dfrac{1}{x^3}\right) \ &\footnotesize{\textcolor{#808080}{\text{ [en factorisant par }x^3\text{ que nous considérons non nul]}}} \ &=\boxed{-\infty} \ &\footnotesize{\textcolor{#808080}{\ \left[\text{car } \lim\limits{x \to -\infty}x^3=-\infty \text{ et }\lim\limits{x \to -\infty} 2-\dfrac{3}{x}-\dfrac{1}{x^3} =2\right]}} \ \ \lim\limits{x \to +\infty}f(x)&= \lim\limits{x \to +\infty}x^3\left(2-\dfrac{3}{x}-\dfrac{1}{x^3}\right) \ &=\boxed{+\infty} \end{aligned} Nous avons tous les éléments pour construire le tableau :

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  • Recherchons les solutions de l’équation f(x)=0f(x)=0.

Il apparaît clairement dans le tableau de variations que cette équation n’admet aucune solution sur l’intervalle ] ;1]] -\infty\ ;\,1] puisque, sur cet intervalle, la fonction ff ne s’annule pas.

En revanche, sur l’intervalle [1 ;+[[1\ ;\,+\infty[, nous pouvons justifier de la manière suivante que l’équation f(x)=0f(x)=0 admet une unique solution.

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À retenir

  • La fonction ff est continue sur R\mathbb {R} puisqu’il s’agit d’une fonction polynôme : elle est donc continue sur [1 ;+[[1\ ;\,+\infty[.
  • La fonction ff est strictement croissante sur [1 ;+[[1\ ;\,+\infty[.
  • f(1)=2<0f(1)=-2<0, lim{x+}f(x)=+\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)= +\infty et 0]2 ;+[0 \in ]-2\ ;\,+\infty[.
  • D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation f(x)=0f(x)=0 admet une unique solution aa sur l’intervalle [1 ;+[[1\ ;\,+\infty[, donc finalement sur R\mathbb{R}.

Méthode d’encadrement d’une solution

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Astuce

Pour encadrer une solution, nous allons nous servir de la fonction table de notre calculatrice.

Reprenons notre exemple précédent : on sait que l’équation f(x)=0f(x)=0 admet une unique solution aa dans l’intervalle [1 ;+[[1\ ; +\infty[.

  • Nous cherchons à encadrer la solution à 10210^{-2} près.

Pour ce faire, nous allons opérer par étapes.

  • Entrer l’expression de la fonction dans la calculatrice : 2X33X212 \text{X}^3-3 \text{X}^2-1 .
  • Régler le point de départ de la table.
  • Nous réglons le point de départ sur 11 puisque nous nous intéressons à l’intervalle [1 ;+[[1\ ;\,+\infty[.
  • Régler le pas du tableau.
  • Nous réglons le pas sur 11 , cela signifie qu’il donne toutes les images des nombres entiers (11, 22, 33, 44, etc.).

Nous observons maintenant la table correspondante :

X Y
11 2-2
22 33
33 2626
44 7979

Nous repérons facilement que 2<0<3-2 < 0 < 3 (on choisit toujours un encadrement avec les valeurs les plus proches de kk, qui vaut ici 00).

  • Notre solution est encadrée de la manière suivante : 1<a<21< a <2.

Il ne s’agit que d’un encadrement à l’unité, et non pas à 10210^{-2}.
Nous recommençons donc les étapes 2 et 3.

  • Nous laissons le point de départ sur 11 , puisque nous nous intéressons maintenant à l’intervalle [1 ;2][1\ ;\,2], et nous réglons le pas cette fois sur 0,10,1 .

Nous observons un extrait de la table obtenue :

X Y
1,51,5 1-1
1,61,6 0,488-0,488
1,71,7 0,1560,156
1,81,8 0,9440,944

Ici, nous avons : 0,488<0<0,156-0,488 < 0 < 0,156.

  • Notre solution est désormais encadrée de la manière suivante : 1,6<a<1,71,6 < a < 1,7.

Il s’agit d’un encadrement à 10110^{-1} près.
Nous continuons donc, en reprenant les étapes 2 et 3.

  • Nous réglons alors le point de départ du tableau sur 1,61,6 et le pas sur 0,010,01 .

Nous obtenons finalement :

X Y
1,661,66 0,1182-0,1182
1,671,67 0,0518-0,0518
1,681,68 0,016060,01606
1,691,69 0,085320,08532

Nous repérons : 0,0518<0<0,01606-0,0518 < 0 < 0,01606.

  • Un encadrement de aa à 10210^{-2} est : 1,67<a<1,681,67 < a < 1,68.
  • Une valeur approchée de aa à 10210^{-2} près est donc : a1,68a \approx 1,68.

Étude d’une suite définie par une relation de récurrence

Dans cette dernière partie, nous allons étudier graphiquement un exemple de suite définie par une relation de récurrence un+1=f(un)u{n+1} = f(un).

On considère la suite (un)(un) définie par u0=1u0 = 1 et, pour tout entier naturel nn, un+1=un+1u{n+1} = \sqrt{u{n}+1}.

  • La fonction ff est donc la fonction définie par f(x)=x+1f(x) = \sqrt{x + 1} sur [1 ;+[[-1\ ;\, +\infty[ et continue sur cet intervalle.

Nous avons :

u1=u0+1=2u2=u1+1=2+11,554u3=u2+1=2+1+11,598\begin{aligned} u1 &= \sqrt{u0 +1} = \sqrt{2} \ u2 &= \sqrt{u1 +1} = \sqrt{\sqrt{2} + 1} \approx 1,554 \ u3 &= \sqrt{u2 +1} = \sqrt{\sqrt{\sqrt{2} + 1} + 1 } \approx 1,598 \ &… \end{aligned}

Cette suite récurrente est représentée graphiquement ci-dessous.

Alt texte Image temporaire

Graphiquement, nous nous apercevons que les termes de la suite (un)(un) sont strictement positifs et que la suite (un)(un) est croissante.

  • Elle semble converger vers la valeur 1,61,6.

En fait, des théorèmes qui ne sont pas au programme nous permettraient de montrer que la suite (un)(u_n) est convergente et que sa limite est l=1+52l = \frac{1+\sqrt{5}}{2}, seule solution positive de l’équation f(x)=xf(x) = x.

Conclusion :

Les derniers cours nous ont permis de découvrir la notion de limites d’une fonction et, ici, la notion de continuité d’une fonction sur un intervalle.

La continuité d’une fonction sur un intervalle permet d’établir, sous certaines hypothèses, l’existence de solutions aux équations du type f(x)=kf(x) = k (kk un réel).
Si, de plus, la fonction continue sur l’intervalle est aussi monotone sur cet intervalle, sous les mêmes conditions, nous pourrons établir l’unicité de la solution de l’équation f(x)=kf(x) = k (kk un réel).
Ces deux propriétés peuvent être appelées théorèmes des valeurs intermédiaires.